Zadanie nr 1485869
Sinus kąta trójkąta równoramiennego
jest równy
. Pole kwadratu
, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta
.
Rozwiązanie
Oczywiście bok kwadratu to 2. Zauważmy, że
jest równoramienny (bo
).
Niech i
będą środkami odpowiednio odcinków
i
. Patrzymy teraz na trójkąty prostokątne
i
.
![∘ ---------- T-D- = cos α = 1 − sin2 α = 3- ⇒ TD = 6- GD 5 5 DE 4 2 5 ----= sin α = -- ⇒ DB = 4-= --. DB 5 5 2](https://img.zadania.info/zad/1485869/HzadR10x.gif)
W takim razie
![12 5 24 + 25 49 AB = AD + DB = 2T D + DB = ---+ --= --------= --. 5 2 10 10](https://img.zadania.info/zad/1485869/HzadR11x.gif)
Brakuje nam jeszcze wysokości trójkąta – aby ją obliczyć patrzymy na trójkąt prostokątny
.
![4 CS--= tg α = sin-α = 5-= 4- AS co sα 3 3 5 h = CS = 4-⋅ AB- = 4-⋅ 49-= 4-9. 3 2 3 20 1 5](https://img.zadania.info/zad/1485869/HzadR14x.gif)
Pole trójkąta jest więc równe
![1 1 4 9 49 2401 PABC = --AB ⋅ h = --⋅---⋅ ---= -----. 2 2 1 0 15 30 0](https://img.zadania.info/zad/1485869/HzadR16x.gif)
Odpowiedź: