/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny/Pole

Zadanie nr 1485869

Sinus kąta CAB trójkąta równoramiennego ACB jest równy 4 5 . Pole kwadratu DEF G , wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ABC .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oczywiście bok kwadratu DEF G to 2. Zauważmy, że ADG jest równoramienny (bo DG ∥ BC ).

PIC

Niech S i T będą środkami odpowiednio odcinków AB i AD . Patrzymy teraz na trójkąty prostokątne TDG i DBE .

∘ ---------- T-D- = cos α = 1 − sin2 α = 3- ⇒ TD = 6- GD 5 5 DE 4 2 5 ----= sin α = -- ⇒ DB = 4-= --. DB 5 5 2

W takim razie

12 5 24 + 25 49 AB = AD + DB = 2T D + DB = ---+ --= --------= --. 5 2 10 10

Brakuje nam jeszcze wysokości trójkąta ABC – aby ją obliczyć patrzymy na trójkąt prostokątny ASC .

4 CS--= tg α = sin-α = 5-= 4- AS co sα 3 3 5 h = CS = 4-⋅ AB- = 4-⋅ 49-= 4-9. 3 2 3 20 1 5

Pole trójkąta ABC jest więc równe

1 1 4 9 49 2401 PABC = --AB ⋅ h = --⋅---⋅ ---= -----. 2 2 1 0 15 30 0

 
Odpowiedź: 2430010

Wersja PDF