Zadanie nr 4886563
Środkowa trójkąta równoramiennego
ma długość
, a jego podstawa
tworzy z ramieniem kąt o mierze
. Oblicz pole trójkąta
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.
Sposób I
Oznaczmy długość ramienia trójkąta przez (
, a nie
, żeby mieć trochę mniej ułamków). Liczbę
możemy wyznaczyć pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie
. Liczymy
![AD 2 = AC 2 + DC 2 − 2AC ⋅DC cos ∡ 120∘ ( ) 21 = 4b 2 + b2 − 2 ⋅2b ⋅b⋅ − 1- 2 2 2 21 = 5b + 2b 21 = 7b 2 / : 7 2 √ -- b = 3 ⇒ b = 3.](https://img.zadania.info/zad/4886563/HzadR6x.gif)
Liczymy teraz pole trójkąta korzystając ze wzoru z sinusem.
![√ -- 1- ∘ 1- 2 --3- √ -- PABC = 2 ⋅AC ⋅CB ⋅sin 120 = 2 ⋅4b ⋅ 2 = 3 3.](https://img.zadania.info/zad/4886563/HzadR8x.gif)
Sposób II
Oznaczmy długość podstawy trójkąta przez (
, a nie
, żeby mieć trochę mniej ułamków). Informację o długości środkowej
będziemy chcieli wykorzystać pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie
. Zanim to jednak zrobimy, obliczmy długość odcinka
.
Z trójkąta prostokątnego mamy
![EB-- ∘ BC = co s30 a 2a BC = √-- = √--- -23 3 1 a BD = --BC = √---. 2 3](https://img.zadania.info/zad/4886563/HzadR16x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
![2 2 2 ∘ AD = AB + BD − 2AB ⋅BD-co s30 a2 a √ 3 21 = 4a2 + ---− 2 ⋅2a ⋅√---⋅---- 3 3 2 2 a2 2 21 = 4a + ---− 2a 3 21 = 7-a2 / ⋅ 3 3 7 9 = a2 ⇒ a = 3.](https://img.zadania.info/zad/4886563/HzadR18x.gif)
Jeszcze raz patrzymy na trójkąt prostokątny .
![CE ----= tg30 ∘ EB √ -- --3- √ -- CE = 3 ⋅ 3 = 3.](https://img.zadania.info/zad/4886563/HzadR20x.gif)
Pole trójkąta jest więc równe
![-- P = 1⋅ AB ⋅ CE = 3√ 3. ABC 2](https://img.zadania.info/zad/4886563/HzadR21x.gif)
Odpowiedź: