Zadanie nr 7588109
Dany jest trójkąt równoramienny , w którym
i
. Punkty
i
są rzutami prostopadłymi środka podstawy
trójkąta na ramiona
i
. Wyraź pole czworokąta
za pomocą
i
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Pole trapezu możemy obliczyć jako różnicę pól trójkątów
i
. Co więcej, trójkąt
jest podobny do trójkąta
i dość łatwo jest obliczyć skalę
tego podobieństwa. Z podobieństwa trójkątów prostokątnych
i
mamy
![2 2 2 a2 2 2 CD-- = CA-- ⇒ CN = CD--- = h--= b--−--4 = 4b--−-a-. CN CD CA b b 4b](https://img.zadania.info/zad/7588109/HzadR9x.gif)
W takim razie
![CN 4b2−a-2 4b2 − a2 k = ---- = --4b--= -----2--. CA b 4b](https://img.zadania.info/zad/7588109/HzadR10x.gif)
Pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa, więc
![( 2 2) 2 4 2 2 4 PNMC = k2PABC = 4b--−-a-- PABC = 16b--−-8a-b--+-a-PABC . 4b2 1 6b4](https://img.zadania.info/zad/7588109/HzadR11x.gif)
Pozostało obliczyć pole trapezu .
![1 6b4 − 8a2b2 + a4 PABMN = PABC − PNMC = PABC − ------------------PABC = 16b4 ∘ -------- ( 1 6b4 − 8a2b2 + a4) 1 8a2b2 − a4 1 a2 = 1 − ----------4------- ⋅ -ah = ------4---⋅ -a b2 − ---= 16b 2 16b 2 4 8a3b2-−-a5- ∘ --2----2- = 64b4 ⋅ 4b − a .](https://img.zadania.info/zad/7588109/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: