Zadanie nr 7999789
Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 10, a cosinus jednego z jego kątów jest równy . Oblicz pole tego trójkąta.
Rozwiązanie
Zauważmy, że kąt, którego cosinus podano w treści zadania jest rozwarty, wiec musi to być kąt między ramionami trójkąta równoramiennego.
Sposób I
Oznaczmy . Korzystając ze wzoru
![cos2 α = 1 − 2 sin2 α](https://img.zadania.info/zad/7999789/HzadR2x.gif)
obliczamy .
![1 − ---= 1− 2sin2 α 49 2 -1- 50- 2sin α = 1+ 49 = 49 25 5 sinα = --- ⇒ sinα = -- 49 7](https://img.zadania.info/zad/7999789/HzadR4x.gif)
Patrzymy teraz na trójkąt .
![5 5 7-= sin α = x- ⇒ x = 7 ∘ -------- √ -------- √ --- √ -- h = x2 − 52 = 49 − 25 = 24 = 2 6.](https://img.zadania.info/zad/7999789/HzadR6x.gif)
Obliczamy pole trójkąta
![1 1 √ -- √ -- P = --⋅AB ⋅h = --⋅1 0⋅2 6 = 10 6. 2 2](https://img.zadania.info/zad/7999789/HzadR7x.gif)
Sposób II
Aby obliczyć długość ramienia trójkąta
piszemy twierdzenie cosinusów.
![AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2AC ⋅BC ⋅cos∡C 1 00 = 2x2 + 2x 2 ⋅-1-= 10-0x2 ⇒ x = 7. 49 49](https://img.zadania.info/zad/7999789/HzadR10x.gif)
Stąd
![∘ -2----2- √ -------- √ --- √ -- h = x − 5 = 49 − 2 5 = 24 = 2 6](https://img.zadania.info/zad/7999789/HzadR11x.gif)
i pole trójkąta jest równe
![1 1 √ -- √ -- P = --⋅AB ⋅h = --⋅1 0⋅2 6 = 10 6. 2 2](https://img.zadania.info/zad/7999789/HzadR12x.gif)
Odpowiedź: