Zadanie nr 8240295
W trójkącie równoramiennym , gdzie
, podstawa ma długość 6. Punkt
jest punktem przecięcia wysokości wychodzących z wierzchołków
i
. Oblicz pole tego trójkąta, jeśli
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Ponieważ wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, odcinek jest fragmentem wysokości opuszczonej z wierzchołka
. Stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie
mamy
![∘ ----------- √ ------- √ -- P E = CP 2 − CE 2 = 16− 9 = 7.](https://img.zadania.info/zad/8240295/HzadR4x.gif)
Teraz kluczowa obserwacja: trójkąty i
są podobne. Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy
to w trójkącie prostokątnym
mamy
![∘ ∘ ∡CAD = 90 − ∡C = 9 0 − α.](https://img.zadania.info/zad/8240295/HzadR9x.gif)
Zatem z trójkąta prostokątnego
![∘ ∘ ∘ ∡EPA = 90 − ∡EAP = 90 − (9 0 − α) = α.](https://img.zadania.info/zad/8240295/HzadR11x.gif)
W takim razie trójkąty i
są oba prostokątne i oba mają kąt o mierze
, są więc podobne.
Dzięki temu podobieństwu możemy obliczyć długość wysokości .
![BE AE ----= ---- CE EP BE- = √3-- 3 7 √ -- BE = √3--⋅3 = √9--= 9--7. 7 7 7](https://img.zadania.info/zad/8240295/HzadR16x.gif)
Pozostało obliczyć pole trójkąta .
![√ -- √ -- 1- 1- 9---7 27---7 S = 2 ⋅AC ⋅BE = 2 ⋅6 ⋅ 7 = 7 .](https://img.zadania.info/zad/8240295/HzadR18x.gif)
Odpowiedź: