Zadanie nr 8363067
W trójkącie boki
i
są równe. Okrąg, którego średnicą jest wysokość
trójkąta przecina boki trójkąta w punktach dzielących te boki w stosunku 5:3 licząc od wierzchołka
. Oblicz pole trójkąta
, jeżeli
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Zauważmy, że kąt jako kąt oparty na średnicy jest prosty, więc trójkąty
i
oba są prostokątne oraz mają wspólny kąt przy wierzchołku
. Są więc podobne. W szczególności,
![CD-- CE-- 2 CA = CD ⇒ CA ⋅CE = CD = 100.](https://img.zadania.info/zad/8363067/HzadR5x.gif)
Korzystamy teraz z tego, że
![CE = --5--⋅ CA = 5-CA . 5+ 3 8](https://img.zadania.info/zad/8363067/HzadR6x.gif)
Mamy więc
![1 00 = CA ⋅CE = CA ⋅ 5CA = 5CA 2 / ⋅ 8- 8 8 5 2 8- √ --- CA = 5 ⋅10 0 = 160 ⇒ CA = 4 10.](https://img.zadania.info/zad/8363067/HzadR7x.gif)
Stąd
![∘ ------------ √ ---------- √ --- √ --- AD = CA 2 − CD 2 = 160 − 10 0 = 60 = 2 15](https://img.zadania.info/zad/8363067/HzadR8x.gif)
i pole trójkąta jest równe
![1 √ --- √ --- PABC = --⋅2AD ⋅CD = 2 15⋅1 0 = 20 15 . 2](https://img.zadania.info/zad/8363067/HzadR9x.gif)
Odpowiedź: