/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny/Pole

Zadanie nr 8363067

W trójkącie ABC boki AC i BC są równe. Okrąg, którego średnicą jest wysokość CD trójkąta przecina boki trójkąta w punktach dzielących te boki w stosunku 5:3 licząc od wierzchołka C . Oblicz pole trójkąta ABC , jeżeli |CD | = 1 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Zauważmy, że kąt CED jako kąt oparty na średnicy jest prosty, więc trójkąty ADC i DEC oba są prostokątne oraz mają wspólny kąt przy wierzchołku C . Są więc podobne. W szczególności,

CD-- CE-- 2 CA = CD ⇒ CA ⋅CE = CD = 100.

Korzystamy teraz z tego, że

CE = --5--⋅ CA = 5-CA . 5+ 3 8

Mamy więc

1 00 = CA ⋅CE = CA ⋅ 5CA = 5CA 2 / ⋅ 8- 8 8 5 2 8- √ --- CA = 5 ⋅10 0 = 160 ⇒ CA = 4 10.

Stąd

∘ ------------ √ ---------- √ --- √ --- AD = CA 2 − CD 2 = 160 − 10 0 = 60 = 2 15

i pole trójkąta jest równe

1 √ --- √ --- PABC = --⋅2AD ⋅CD = 2 15⋅1 0 = 20 15 . 2

 
Odpowiedź: √ --- 20 1 5

Wersja PDF