/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty/Sześciokąt

Zadanie nr 8343106

Oblicz miarę kąta α jaki tworzą przekątne AC i AD sześciokąta foremnego.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Miarę kąta α można wyliczyć na wiele różnych sposobów.

PIC

Sposób I

Przekątna AC jest prostopadła do CD , czyli ∡ACD = 90∘ . Przekątna AD jest natomiast dwusieczną kąta D , którego miara wynosi 120∘ . Zatem ∡ADC = 6 0∘ . Mamy stąd

α = ∡CAD = 180∘ − ∡ACD − ∡ADC = 180 ∘ − 90 ∘ − 6 0∘ = 30∘.

Sposób II

Jeżeli połączymy środek sześciokąta z jego wierzchołkami to otrzymamy 6 trójkątów równobocznych. Widać teraz, że szukany kąt jest równy kątowi jaki tworzy wysokość w trójkącie równobocznym z jego bokiem. Jest to więc 30∘ .

Sposób III

Jeżeli dorysujemy okrąg opisany na sześciokącie foremnym, to kąt środkowy COD jest oparty na tym samym łuku, co szukany kąt CAD . Zatem

α = ∡CAD = 1∡COD = 1-⋅ 1⋅ 360∘ = 30 ∘. 2 2 6

 
Odpowiedź: 30∘

Wersja PDF