/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty/Sześciokąt

Zadanie nr 9924155

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W sześciokącie foremnym połączono środki sąsiednich boków otrzymując ponownie sześciokąt foremny. Oblicz stosunek pól: otrzymanego i wyjściowego sześciokąta.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych, oznaczmy długość ich boku przez a . W takim razie pole sześciokąta jest równe

√ -- √ -- a2 3 3 3a2 P1 = 6 ⋅------= -------. 4 2

Z obrazka widać, że boki trójkątów równobocznych, z których składa się mniejszy sześciokąt są równe wysokości w większych trójkątach równobocznych. Zatem pole mniejszego sześciokąta jest równe

( √-) 2√ -- a23- 3 a2 ⋅3 ⋅√ 3 9√ 3a2 P2 = 6 ⋅------------= 6⋅ ----------= -------. 4 4⋅4 8

Szukany stosunek jest więc równy

9√3a2 P2-= -√8---= 3. P1 3-3a2 4 2

 
Odpowiedź: 3 4

Wersja PDF