Zadanie nr 6222430

Udowodnij, że dla dowolnego kąta π- α ∈ (0,2) prawdziwa jest nierówność

( π ) ( π ) 1 sin ---− α ⋅cos ---+ α < -. 12 12 4

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzorów

sin (α− β) = sin αcos β − sinβ cos α co s(α+ β) = cos αco sβ − sin αsin β.

Mamy zatem

( π ) ( π ) ( π π ) ( π π ) sin ---− α ⋅cos ---+ α = sin ---cos α− sin α cos --- co s---cos α− sin ---sin α = 12 12 12 12 12 1 2 = sin π-co s-π-cos2 α− sin α cosα cos2 π--− sin2 π--sin α cosα + sin2 αsin π--� 12 12 12 ( 12 ) 12 12 π-- -π- 2 2 2 π-- 2 π- = sin 12 co s12 (sin α + cos α)− sin α cosα sin 12 + co s 12 = π π 1 ( π π ) = sin --co s---− sin α cosα = -- 2 sin ---cos ---− 2 sin α cosα = ( 12 12 ) ( 2 )12 12 = 1- sin π-− sin 2α = 1- 1-− sin2 α . 2 6 2 2

Wystarczy teraz zauważyć, że z założenia 2α ∈ (0,π ) , więc sin 2α > 0 i

( ) 1- 1-− sin 2α < 1⋅ 1-= 1-. 2 2 2 2 4

Sposób II

Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

x-−--y x-+-y- sin x− sin y = 2 sin 2 co s 2

Na mocy tego wzoru

( ) ( ) ( π ) ( π ) π-- π-- 1- 6-−-2α- 6-+-2α- sin 12 − α ⋅co s 12 + α = 2 ⋅2sin 2 ⋅co s 2 = ( ) = 1-⋅ sin π-− sin 2α = 1-− 1sin 2α. 2 6 4 2

Teraz wystarczy zauważyć, że z założenia 2α ∈ (0,π ) , więc sin2α > 0 .