Zadanie nr 3273105

Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie

2 2 (log 3x) − log3x = m

ma dwa rozwiązania należące do przedziału ⟨1 ,+∞ ) .

Rozwiązanie

Oczywiście ze względu na dziedzinę logarytmu musi być x > 0 . Dane równanie możemy zapisać w postaci

(lo g3x )2 − 2 lo g3x = m .

Jeżeli podstawimy teraz t = lo g3x to mamy równanie kwadratowe

t2 − 2t = m.

Sprawa jest więc dość prosta, ale musimy być trochę ostrożni, bo musimy uwzględnić warunek x ∈ ⟨1,+ ∞ ) . Przy tym założeniu mamy t = log3 x ∈ ⟨0,+ ∞ ) . Pytanie więc brzmi: dla jakich wartości parametru równanie

2 t − 2t = m

ma dwa rozwiązania nieujemne? Najłatwiej odpowiedzieć na to pytanie szkicując wykres lewej strony – jest to parabola o miejscach zerowych 0, 2 i wierzchołku w punkcie (1,− 1) .