Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3273105

Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie

 2 2 (log 3x) − log3x = m

ma dwa rozwiązania należące do przedziału ⟨1 ,+∞ ) .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oczywiście ze względu na dziedzinę logarytmu musi być x > 0 . Dane równanie możemy zapisać w postaci

(lo g3x )2 − 2 lo g3x = m .

Jeżeli podstawimy teraz t = lo g3x to mamy równanie kwadratowe

t2 − 2t = m.

Sprawa jest więc dość prosta, ale musimy być trochę ostrożni, bo musimy uwzględnić warunek x ∈ ⟨1,+ ∞ ) . Przy tym założeniu mamy t = log3 x ∈ ⟨0,+ ∞ ) . Pytanie więc brzmi: dla jakich wartości parametru m równanie

 2 t − 2t = m

ma dwa rozwiązania nieujemne? Najłatwiej odpowiedzieć na to pytanie szkicując wykres lewej strony – jest to parabola o miejscach zerowych 0, 2 i wierzchołku w punkcie (1,− 1) .


PIC


Widać teraz, że powyższe równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki nieujemne dla m ∈ (− 1,0⟩

Na koniec (dla ciekawskich) wykres lewej strony oryginalnego równania, czyli funkcji  2 2 f(x ) = (lo g3x ) − log3 x .


PIC


 
Odpowiedź: m ∈ (− 1,0⟩

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!