Zadanie nr 1047681
Suma reszt jakie otrzymujemy dzieląc wielomian przez dwumiany
i
jest równa
, gdzie
. Oblicz
.
Rozwiązanie
Przekształćmy najpierw wzór danego wielomianu.
![2 3 2 2 2 W (x) = (x + qx+ p)(x − q) = x + qx + px − qx − q x − pq = = x3 + (p− q2)x− pq.](https://img.zadania.info/zad/1047681/HzadR0x.gif)
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian
to po prostu
. Jeżeli oznaczymy
, to wiemy, że
![W (a)+ W (−a ) = − 4p 3 2 3 2 (a + (p − q )a− pq )+ (−a − (p − q )a− pq ) = − 4p − 2pq = − 4p / : (− 2p) q = 2.](https://img.zadania.info/zad/1047681/HzadR5x.gif)
W takim razie
![3 W (x ) = x + (p − 4)x − 2p](https://img.zadania.info/zad/1047681/HzadR6x.gif)
i
![W (2) = 8 + 2p − 8 − 2p = 0.](https://img.zadania.info/zad/1047681/HzadR7x.gif)
(Mogliśmy też wstawić do pierwotnego wzoru
.)
Odpowiedź: