Zadanie nr 3696777
Wielomian określony wzorem jest podzielny przez dwumian
oraz przy dzieleniu przez dwumian
daje resztę 12. Oblicz
i dla wyznaczonej wartości
rozwiąż nierówność
.
Rozwiązanie
Jeżeli wielomian dzieli się przez
, to
. Podobnie, jeżeli jego reszta z dzielenia przez
jest równa 12, to
(wynika to natychmiast z dzielnia z resztą:
). Mamy zatem układ równań
![{ 0 = W (− 2) = − 16+ 4m 3 − 4+ 2 2− 16m − 2 = 4m 3 − 16m 3 3 12 = W (1) = 2 + m − 1− 11− 16m − 2 = m − 1 6m − 12 . { 0 = 4m (m − 2)(m + 2) 0 = m 3 − 16m − 24.](https://img.zadania.info/zad/3696777/HzadR6x.gif)
Z pierwszego równania mamy . Łatwo sprawdzić, że spośród tych liczb tylko
spełnia drugie równanie. Zatem
![W (x) = 2x3 − 9x2 − 11x + 30.](https://img.zadania.info/zad/3696777/HzadR9x.gif)
Wiemy ponadto, że wielomian ten dzieli się przez . Wykonujemy to dzielenie – my zrobimy to grupując wyrazy.
![2x3− 9x2 − 11x + 30 = (2x3 + 4x 2) − (13x 2 + 26x) + (15x + 30) = 2 2 = 2x (x+ 2)− 13x(x + 2) + 15(x + 2 ) = (2x − 13x + 15)(x + 2 ).](https://img.zadania.info/zad/3696777/HzadR11x.gif)
Rozkładamy jeszcze trójmian w pierwszym nawiasie.
![2 2x − 13x + 15 = 0 Δ = 16 9− 1 20 = 49 13 − 7 3 13 + 7 x 1 = -------= -, x2 = -------= 5. 4 2 4](https://img.zadania.info/zad/3696777/HzadR12x.gif)
Mamy zatem
![( 3 ) W (x) = 2(x+ 2) x − -- (x − 5) 2](https://img.zadania.info/zad/3696777/HzadR13x.gif)
i rozwiązaniem nierówności jest zbiór
![⟨ 3⟩ x ∈ − 2,-- ∪ ⟨5,+ ∞ ). 2](https://img.zadania.info/zad/3696777/HzadR15x.gif)
Odpowiedź: ,