Zadanie nr 3886482
Dla jakich wartości parametru reszta z dzielenia wielomianu
przez dwumian
jest nie większa od (–2)?
Rozwiązanie
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian
to po prostu wartość
. Rzeczywiście, jeżeli
![W (x) = Q (x)(x − 1 )+ r](https://img.zadania.info/zad/3886482/HzadR3x.gif)
to wstawiając w tej równości mamy
. Musimy więc rozwiązać nierówność.
![W (1) ≤ − 2 3 2 2 1 + k + 3k − 2k − 4k − k ≤ − 2 k 3 + k2 − 5k + 3 ≤ 0 .](https://img.zadania.info/zad/3886482/HzadR6x.gif)
Szukamy pierwiastka lewej strony. Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego łatwo znaleźć pierwiastek . Dzielimy lewą stronę przez
. My zrobimy to grupując wyrazy.
![k3+ k2− 5k + 3 = (k3− k2) + (2k2− 2k)− (3k− 3) = (k− 1)(k2+ 2k − 3 ).](https://img.zadania.info/zad/3886482/HzadR9x.gif)
Teraz rozkładamy trójmian w nawiasie.
![Δ = 4+ 1 2 = 16 k = − 3 ∨ k = 1 .](https://img.zadania.info/zad/3886482/HzadR10x.gif)
Mamy zatem nierówność
![(k− 1)2(k+ 3 ) ≤ 0 k ∈ (− ∞ − 3 ⟩∪ {1} .](https://img.zadania.info/zad/3886482/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: