Zadanie nr 4088217
Dany jest wielomian . Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu
przez
jest równa 20. Oblicz współczynniki
i
oraz pozostałe pierwiastki wielomianu
.
Rozwiązanie
Reszta z dzielenia wielomianu przez jednomian
to po prostu
– aby to sprawdzić, wystarczy podstawić
w równości
![W (x ) = Q (x)(x− a)+ R.](https://img.zadania.info/zad/4088217/HzadR4x.gif)
Więcej szczegółów znajdziecie w poradniku o wielomianach.
Mamy zatem układ równań
![{ 0 = W (3) = 54+ 9a− 39 + b 20 = W (− 2 ) = − 16+ 4a+ 26+ b { 9a+ b = − 15 4a+ b = 10.](https://img.zadania.info/zad/4088217/HzadR5x.gif)
Odejmujemy te równania stronami (żeby skrócić ) i mamy
![5a = −2 5 ⇒ a = − 5.](https://img.zadania.info/zad/4088217/HzadR7x.gif)
Stąd i
![W (x) = 2x3 − 5x2 − 13x + 30.](https://img.zadania.info/zad/4088217/HzadR9x.gif)
Dzielimy teraz powyższy wielomian przez . My zrobimy to grupując wyrazy.
![3 2 3 2 2 2x − 5x − 1 3x+ 30 = (2x − 6x )+ (x − 3x )− (10x − 30) = = 2x 2(x− 3)+ x(x − 3)− 10(x − 3) = (x − 3)(2x2 + x− 10).](https://img.zadania.info/zad/4088217/HzadR11x.gif)
Rozkładamy teraz trójmian w drugim nawiasie.
![2 2x + x− 10 = 0 Δ = 1 + 80 = 81 x = −-1-−-9 = − 5- lub x = −-1-+-9 = 2. 4 2 4](https://img.zadania.info/zad/4088217/HzadR12x.gif)
Odpowiedź: , pierwiastki: