Zadanie nr 4132575
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian
jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika
oraz pierwiastki tego wielomianu.
Rozwiązanie
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian
to po prostu
. Wiemy zatem, że
![20 = W (− 1) = − 4 − 5 + 23 + m ⇒ m = 6.](https://img.zadania.info/zad/4132575/HzadR3x.gif)
Pozostało wyznaczyć pierwiastki wielomianu
![W (x) = 4x 3 − 5x 2 − 2 3x+ 6.](https://img.zadania.info/zad/4132575/HzadR4x.gif)
Szukamy najpierw pierwiastka całkowitego wśród dzielników wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy więc wielomian przez dwumian
(my zrobimy to grupując wyrazy).
![3 2 3 2 2 4x − 5x − 23x + 6 = 4x + 8x − 13x − 26x + 3x + 6 = = 4x2(x + 2) − 13x (x+ 2)+ 3(x+ 2) = (4x2 − 13x + 3)(x+ 2).](https://img.zadania.info/zad/4132575/HzadR7x.gif)
Szukamy teraz pierwiastków trójmianu w nawiasie.
![2 4x − 1 3x+ 3 = 0 Δ = 169 − 48 = 121 = 1 12 x = 13-−-11-= 1- ∨ x = 13-+-11-= 3. 8 4 8](https://img.zadania.info/zad/4132575/HzadR8x.gif)
Równanie ma więc trzy pierwiastki: .
Odpowiedź: ,