Zadanie nr 7272228
Wielomian określony wzorem jest podzielny przez dwumian
oraz przy dzieleniu przez dwumian
daje resztę 6. Oblicz
i dla wyznaczonej wartości
rozwiąż nierówność
.
Rozwiązanie
Jeżeli wielomian dzieli się przez
, to
. Podobnie, jeżeli jego reszta z dzielenia przez
jest równa 6, to
(wynika to natychmiast z dzielnia z resztą:
). Mamy zatem układ równań
![{ 0 = W (2) = 16+ 4m 3 + 8 − 22 − 4m − 2 = 4m 3 − 4m 3 3 6 = W (− 1) = − 2 + m + 2+ 11 − 4m − 2 = m − 4m + 9. { 0 = 4m (m − 1)(m + 1) 0 = m 3 − 4m + 3.](https://img.zadania.info/zad/7272228/HzadR6x.gif)
Z pierwszego równania mamy . Łatwo sprawdzić, że spośród tych liczb tylko
spełnia drugie równanie. Zatem
![W (x) = 2x 3 + 3x 2 − 1 1x− 6.](https://img.zadania.info/zad/7272228/HzadR9x.gif)
Wiemy ponadto, że wielomian ten dzieli się przez . Wykonujemy to dzielenie – my zrobimy to grupując wyrazy.
![2x3+ 3x 2 − 1 1x− 6 = (2x 3 − 4x 2)+ (7x 2 − 14x) + (3x − 6) = 2 2 = 2x (x − 2)+ 7x(x − 2) + 3(x − 2 ) = (2x + 7x + 3)(x − 2).](https://img.zadania.info/zad/7272228/HzadR11x.gif)
Rozkładamy jeszcze trójmian w pierwszym nawiasie.
![2 2x + 7x + 3 = 0 Δ = 49− 24 = 25 − 7 − 5 − 7+ 5 1 x1 = ------- = − 3, x2 = ------- = − --. 4 4 2](https://img.zadania.info/zad/7272228/HzadR12x.gif)
Mamy zatem
![( 1 ) W (x) = 2(x+ 3) x + -- (x − 2) 2](https://img.zadania.info/zad/7272228/HzadR13x.gif)
i rozwiązaniem nierówności jest zbiór
![⟨ 1 ⟩ x ∈ (− ∞ ,− 3⟩∪ − -,2 . 2](https://img.zadania.info/zad/7272228/HzadR15x.gif)
Odpowiedź: ,