Zadanie nr 7398729
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian
jest równa 1. Wykaż, że jeżeli liczby
są liczbami całkowitymi to wielomian
nie ma pierwiastków wymiernych.
Rozwiązanie
Reszta z dzielenia wielomianu przez
to po prostu
, więc wiemy, że
![P (3) = 35 + 34a+ 33b+ 32c+ 3d+ 1 = 1.](https://img.zadania.info/zad/7398729/HzadR3x.gif)
Z drugiej strony, na mocy twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianów, jedynymi wymiernymi pierwiastkami wielomianu mogą być dzielniki wyrazu wolnego, czyli
lub
.
Gdyby był pierwiastkiem
to wtedy
![1 + a + b + c + d + 1 = 0](https://img.zadania.info/zad/7398729/HzadR9x.gif)
Jeżeli dodamy tę równość od poprzedniej równości na , to otrzymamy
![5 4 3 2 (3 + 1 )+ (3 + 1)a + (3 + 1)b + (3 + 1)c + (3+ 1)d + 2 = 1](https://img.zadania.info/zad/7398729/HzadR11x.gif)
Zauważmy jednak, że z lewej strony mamy same liczby parzyste, co jest sprzeczne z 1-ką z prawej strony.
Podobnie, jeżeli byłby pierwiastkiem to mamy
![−1 + a − b + c − d + 1 = 0](https://img.zadania.info/zad/7398729/HzadR13x.gif)
i dodając to do równości na , mamy
![(35 − 1) + (34 + 1)a + (33 − 1)b+ (32 + 1)c+ (3− 1)d+ 2 = 1,](https://img.zadania.info/zad/7398729/HzadR15x.gif)
co też jest niemożliwe (lewa strona jest parzysta, a prawa nie).