Reszta z dzielenia wielomianu przez
to po prostu
, więc wiemy, że
Z drugiej strony, na mocy twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianów, jedynymi wymiernymi pierwiastkami wielomianu mogą być dzielniki wyrazu wolnego, czyli
lub
.
Gdyby był pierwiastkiem
to wtedy
Jeżeli dodamy tę równość od poprzedniej równości na , to otrzymamy
Zauważmy jednak, że z lewej strony mamy same liczby parzyste, co jest sprzeczne z 1-ką z prawej strony.
Podobnie, jeżeli byłby pierwiastkiem to mamy
i dodając to do równości na , mamy
co też jest niemożliwe (lewa strona jest parzysta, a prawa nie).