Reszta z dzielenia wielomianu przez to po prostu , więc wiemy, że

Z drugiej strony, na mocy twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianów, jedynymi wymiernymi pierwiastkami wielomianu mogą być dzielniki wyrazu wolnego, czyli lub .

Gdyby był pierwiastkiem to wtedy

Jeżeli dodamy tę równość od poprzedniej równości na , to otrzymamy

Zauważmy jednak, że z lewej strony mamy same liczby parzyste, co jest sprzeczne z 1-ką z prawej strony.

Podobnie, jeżeli byłby pierwiastkiem to mamy

i dodając to do równości na , mamy

co też jest niemożliwe (lewa strona jest parzysta, a prawa nie).