/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Dzielenie z resztą/Przez stopnia 1

Zadanie nr 7398729

Reszta z dzielenia wielomianu 5 4 3 2 P(x) = x + ax + bx + cx + dx + 1 przez dwumian (x− 3) jest równa 1. Wykaż, że jeżeli liczby a,b,c,d są liczbami całkowitymi to wielomian P (x) nie ma pierwiastków wymiernych.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Reszta z dzielenia wielomianu P(x) przez (x − 3) to po prostu P(3 ) , więc wiemy, że

P (3) = 35 + 34a+ 33b+ 32c+ 3d+ 1 = 1.

Z drugiej strony, na mocy twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianów, jedynymi wymiernymi pierwiastkami wielomianu P(x) mogą być dzielniki wyrazu wolnego, czyli x = − 1 lub x = 1 .

Gdyby x = 1 był pierwiastkiem P (x) to wtedy

1 + a + b + c + d + 1 = 0

Jeżeli dodamy tę równość od poprzedniej równości na P(3) , to otrzymamy

5 4 3 2 (3 + 1 )+ (3 + 1)a + (3 + 1)b + (3 + 1)c + (3+ 1)d + 2 = 1

Zauważmy jednak, że z lewej strony mamy same liczby parzyste, co jest sprzeczne z 1-ką z prawej strony.

Podobnie, jeżeli x = − 1 byłby pierwiastkiem to mamy

−1 + a − b + c − d + 1 = 0

i dodając to do równości na P (3) , mamy

(35 − 1) + (34 + 1)a + (33 − 1)b+ (32 + 1)c+ (3− 1)d+ 2 = 1,

co też jest niemożliwe (lewa strona jest parzysta, a prawa nie).

Wersja PDF