Dany jest wielomian W(x)=x^3+cx^2+7x+d. Wyznacz wartości współczynników... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Przez stopnia 1, 7855250

Forum

Zadanie nr 7855250

Dany jest wielomian $3 2 W (x) = x + cx + 7x + d$ .

Wyznacz wartości współczynników $c$ i $d$ wielomianu $W$ , wiedząc, że jest podzielny przez dwumian $(x+ 2)$ , zaś przy dzieleniu przez dwumian $(x − 1)$ otrzymujemy resztę 3.
Dla $c = − 5$ i $d = −3$ rozwiąż nierówność $W (x) ≤ 0$ .

Rozwiązanie

Jeżeli wielomian dzieli się przez $(x + 2 )$ to dla $x = − 2$ musi przyjmować wartość 0 (bo tę własność ma $(x + 2)$ ). Zatem $0 = W (− 2) = − 8 + 4c − 14 + d ⇒ d = 22 − 4c.$
Jeżeli natomiast reszta z dzielenia przez dwumian $(x − 1)$ wynosi 3, to musi być $W (1) = 3$ (aby w to uwierzyć wystarczy sobie napisać równość $W (x) = (x − 1)Q (x )+ 3$ i podstawić w niej $x = 1$ ). Mamy zatem
$3 = W (1) = 1 + c + 7 + 22 − 4c = 30− 3c ⇒ 3c = 27 ⇒ c = 9.$
Zatem $d = 22 − 4c = 22 − 3 6 = − 14$ .
Odpowiedź: $c = 9,d = − 14$
Dla $c = − 5$ i $d = −3$ mamy wielomian $x3 − 5x2 + 7x − 3$
Od razu spróbujmy go rozłożyć. Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego znajdujemy pierwiastek $x = 1$ . Dzielimy więc wielomian przez $(x − 1)$ – my zrobimy to grupując wyrazy.
$x 3 − 5x 2 + 7x− 3 = x3 − x2 − (4x2 − 4x) + 3x − 3 = (x− 1)(x2 − 4x + 3).$
Rozkładamy teraz otrzymany trójmian.
$Δ = 16 − 12 = 4 x1 = 1, x2 = 3.$
Mamy więc do rozwiązania nierówność
$3 2 2 x − 5x + 7x − 3 = (x − 1) (x − 3) ≤ 0.$
Jej rozwiązaniem jest zbiór $(− ∞ ,3⟩$ .
Odpowiedź: $x ∈ (− ∞ ,3⟩$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!