Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8786871

W wyniku podzielenia wielomianu W (x) przez (x + 2) otrzymujemy iloraz Q (x) i resztę 0. Jeśli natomiast podzielimy wielomian W (x) przez (x + 1) , to otrzymamy iloraz Q (x)+ 2x − 3 i resztę 2.

  • Wyznacz wielomian W (x) .
  • Rozwiąż nierówność W (x) ≤ − (x + 1 )(x + 2) .
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Z podanych informacji mamy układ równań
    { W (x ) = (x + 2)Q (x) W (x ) = (x + 1)(Q (x) + 2x − 3) + 2.

    Zatem

    (x+ 2)Q (x) = (x + 1)(Q (x) + 2x − 3) + 2 (x+ 2)Q (x)− (x+ 1)Q (x) = (x + 1)(2x − 3 )+ 2 (x+ 2− x− 1)Q (x) = 2x2 − 3x + 2x − 3+ 2 Q(x ) = 2x2 − x − 1.

    Stąd

     2 W (x ) = (x + 2)(2x − x − 1) = = 2x3 − x2 − x + 4x2 − 2x − 2 = 2x3 + 3x2 − 3x − 2.

     
    Odpowiedź:  3 2 W (x ) = 2x + 3x − 3x − 2

  • Z poprzedniego podpunktu wiemy, że W (x) = (x+ 2)(2x2 − x − 1) . Mamy więc nierówność
    (x+ 2)(2x2 − x − 1) ≤ − (x + 1)(x + 2) 2 (x+ 2)(2x − x − 1) + (x + 1)(x + 2) ≤ 0 (x+ 2)(2x2 − x − 1 + x + 1) ≤ 0 2 (x+ 2)⋅2x ≤ 0 / : 2 x2(x + 2) ≤ 0.

    Oczywiście x = 0 spełnia powyższą nierówność, a jeżeli x ⁄= 0 to możemy obie strony podzielić przez x 2 i otrzymujemy x ≤ − 2 .  
    Odpowiedź: x ∈ (− ∞ ,− 2⟩ ∪ {0}

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!