Zadanie nr 9598692
Wielomian jest podzielny przez dwumian
, a reszta z dzielenia wielomianu
przez dwumian
wynosi
. Oblicz
i
, a następnie rozwiąż nierówność
.
Rozwiązanie
Podane informacje o podzielnościach prowadzą układu równań
![{ 0 = W (− 1) = −1 − (a + b) + (a − b) − 8 = − 9 − 2b − 2 = W (− 3) = − 27 − 9 (a+ b )+ 3(a − b) − 8 = −3 5− 6a− 12b.](https://img.zadania.info/zad/9598692/HzadR0x.gif)
Z pierwszego równania mamy , a z drugiego
![6a = − 33 − 12b = − 33+ 54 = 21 ⇒ a = 21-= 7-. 6 2](https://img.zadania.info/zad/9598692/HzadR2x.gif)
Zatem
![3 2 W (x) = x + x − 8x − 8](https://img.zadania.info/zad/9598692/HzadR3x.gif)
i pozostało rozwiązać nierówność
![3 2 x + x + 8x − 8 < 4 x3 + x2 − 8x − 12 < 0 .](https://img.zadania.info/zad/9598692/HzadR4x.gif)
Szukamy teraz pierwiastków wymiernych lewej strony – łatwo zauważyć, że jednym z nich jest . Dzielimy więc wielomian z lewej strony nierówności przez
. My jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy.
![x3 + x2 − 8x − 12 = x3 + 2x2 − (x2 + 2x)− (6x + 12) = 2 2 = x (x+ 2)− x(x + 2) − 6(x + 2) = (x + 2 )(x − x− 6).](https://img.zadania.info/zad/9598692/HzadR7x.gif)
Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.
![Δ = 1 + 24 = 2 5 1 − 5 1 + 5 x = ------= − 2 lub x = ------= 3. 2 2](https://img.zadania.info/zad/9598692/HzadR8x.gif)
Interesująca nas nierówność przyjmuje więc postać
![2 (x + 2) (x − 3) < 0.](https://img.zadania.info/zad/9598692/HzadR9x.gif)
Jej rozwiązaniem jest zbiór
![x ∈ (− ∞ ,− 2)∪ (− 2,3 ).](https://img.zadania.info/zad/9598692/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: ,