/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite/Różne

Zadanie nr 6453540

Niech x ∈ Z . Wykaż, że wyrażenie x2+-3x+5- x+1 przyjmuje wartość całkowitą tylko dla czterech wartości x . Podaj te liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształćmy podane wyrażenie tak, aby nie było x -a w liczniku.

2 2 x--+-3x-+--5 = (x--+-x-)+-(2x-+--2)+--3 = x+ 1 x + 1 x(x-+-1)- 2(x-+-1-) --3--- --3--- = x + 1 + x + 1 + x + 1 = x + 2+ x+ 1.

Widać teraz, że ułamek ten jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy x + 1 jest dzielnikiem 3. Daje to cztery możliwości

x + 1 = − 3 ⇒ x = − 4 x + 1 = − 1 ⇒ x = − 2 x + 1 = 1 ⇒ x = 0 x + 1 = 3 ⇒ x = 2.

 
Odpowiedź: x ∈ { −4 ,−2 ,0,2}

Wersja PDF