/Szkoła średnia/Nierówności/Wielomianowe/Różne

Zadanie nr 2055155

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz dopełnienie zbioru 4 2 A = {x ∈ R : x − 10x + 9 ≤ 0 } w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Zbiór A jest zbiorem rozwiązań nierówności

4 2 x − 10x + 9 ≤ 0 ,

zatem jego dopełnienie jest zbiorem rozwiązań nierówności

4 2 x − 10x + 9 > 0 .

Pozostało rozwiązać tę nierówność. Wyznaczmy najpierw miejsca zerowe, podstawiając x2 = t .

2 t − 10t+ 9 = 0 Δ = 100 − 36 = 6 4 t = 1 ∨ t = 9 x = 1 ∨ x = − 1 ∨ x = 3 ∨ x = − 3.

Podaną nierówność możemy więc zapisać w postaci

(x− 1)(x+ 1)(x − 3)(x + 3) > 0 x ∈ (− ∞ ,− 3)∪ (− 1,1) ∪ (3,+ ∞ ).

 
Odpowiedź: R ∖ A = (− ∞ ,− 3)∪ (− 1,1 )∪ (3,+ ∞ )

Wersja PDF