Zadanie nr 7341790

Oblicz √ -------- − 3 − 4i .

Rozwiązanie

Na początku możemy sprawdzić, czy przypadkiem liczba − 3 − 4i nie ma ładnej postaci trygonometrycznej – okaże się, że nie ma.

Sposób I

W takim razie liczymy wprost (dla pierwiastków stopnia 2 zawsze tak można). Szukamy takiej liczby a+ bi , że

(a+ bi)2 = − 3 − 4i 2 2 a{ + 2abi− b = − 3− 4i 2 2 a − b = − 3 2ab = − 4 .

Z drugiego równania wyliczamy b = −-2 a i wstawiamy do pierwszego równania (tu jest ważne, że a = 0 nie daje rozwiązania).

2 4 a − a2-= − 3 4 2 a + 3a − 4 = 0 Δ = 9+ 1 6 = 25 2 a = 1 ⇒ a = ±1 .

Pamiętając o tym, że b = −a2- otrzymujemy dwa pierwiastki

1 − 2i ∨ − 1 + 2i.

Sposób II

Tym razem jednak spróbujmy wykorzystać postać trygonometryczną. Mamy

−-3- co sφ = 5 −4 sin φ = ---- 5 − 3− 4i = 5(cosφ + isin φ ) √ -------- √ -- φ φ √ -- φ φ − 3− 4i = { 5(cos --+ isin --),− 5(cos --+ isin --)} 2 2 2 2

Aby policzyć żądany pierwiastek, musimy więc wyliczyć cos φ- 2 i sin φ- 2 . Da się to łatwo zrobić korzystając ze wzorów.

φ ∘ co-sφ-+-1- 1 cos 2α = 2 cos2α − 1 ⇒ cos --= ± ----------= ± √--- 2 2 5 φ ∘ -1−--cosφ- 2 cos 2α = 1 − 2 sin 2α ⇒ sin -- = ± ----------= ± √---. 2 2 5

Aby ustalić znaki tych wyrażeń zauważmy, że jest w III ćwiartce, zatem φ- 2 jest w II ćwiartce. Zatem

√ -------- √ --( 1 2 ) √ --( 1 2 ) − 3 − 4i = { 5 − √---+ i√--- ,− 5 − √---+ i√--- = 5 5 5 5 = { − 1+ 2i,1 − 2i}

Odpowiedź: √ -------- − 3 − 4i = {1 − 2i,− 1+ 2i}