/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Okręgi wpisane

Zadanie nr 6258844

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków AB i BC w punktach K i L odpowiednio. Na bokach AB i BC tego trójkąta wybrano punkty P i Q w ten sposób, że odcinek PQ jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AP | = |AC | , 8 ⋅|BC | = 17⋅|P B| i 3⋅ |BK | = 25 ⋅|LQ | , to trójkąt BP Q jest rozwartokątny.

Rozwiązanie

Niech M i S będą punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt ABC z odcinkami AC i PQ odpowiednio.

ZINFO-FIGURE

W rozwiązaniu kilkukrotnie skorzystamy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z jednego punktu mają równą długość. Taką sytuację mamy np. dla odcinków AK i AM . W połączeniu z równością AP = AC , otrzymujemy stąd

P S = P K = CM = CL .

Oznaczmy tą wspólną długość przez x . Oznaczmy ponadto

QS = QL = y

i BP = z . Odcinki BK i BL mają równą długość, więc

BQ = BL − QL = BK − y = x+ z− y.

Teraz łatwo już rozszyfrować informację podane w treści zadania.

{ 8 (x+ y+ x+ z− y) = 17z 3 (x+ z) = 25y { 1 6x = 9z 3 (x+ z) = 25y.

Z pierwszego równania mamy

16 16x = 9z ⇒ z = --x. 9

Podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania.

( ) y = -3-(x + z) = -3- x + 1-6x = -3-⋅ 25x = 1x. 2 5 2 5 9 25 9 3

Teraz już jest łatwo, bo umiemy wyrazić długości wszystkich boków trójkąta BP Q w zależności od x .

16 BP = z = --x 9 PQ = x + y = x+ 1x = 4x 3 3 16- 1- 22- BQ = x + z − y = x+ 9 x − 3x = 9 x .

Najdłuższym bokiem trójkąta BP Q jest odcinek BQ i

256 1 44 400 484 BP 2 + PQ 2 = ---x2 + ----x2 = ---x 2 < ----x2 = BQ 2. 81 81 81 81

To oznacza, że trójkąt BP Q jest rozwartokątny (bo np. z tw cosinusów otrzymujemy wtedy, że cos ∡BP Q < 0 ).

Wersja PDF