Zadanie nr 6258844
Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do boków
i
w punktach
i
odpowiednio. Na bokach
i
tego trójkąta wybrano punkty
i
w ten sposób, że odcinek
jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt
(zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli ,
i
, to trójkąt
jest rozwartokątny.
Rozwiązanie
Niech i
będą punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt
z odcinkami
i
odpowiednio.
W rozwiązaniu kilkukrotnie skorzystamy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z jednego punktu mają równą długość. Taką sytuację mamy np. dla odcinków i
. W połączeniu z równością
, otrzymujemy stąd
![P S = P K = CM = CL .](https://img.zadania.info/zad/6258844/HzadR9x.png)
Oznaczmy tą wspólną długość przez . Oznaczmy ponadto
![QS = QL = y](https://img.zadania.info/zad/6258844/HzadR11x.png)
i . Odcinki
i
mają równą długość, więc
![BQ = BL − QL = BK − y = x+ z− y.](https://img.zadania.info/zad/6258844/HzadR15x.png)
Teraz łatwo już rozszyfrować informację podane w treści zadania.
![{ 8 (x+ y+ x+ z− y) = 17z 3 (x+ z) = 25y { 1 6x = 9z 3 (x+ z) = 25y.](https://img.zadania.info/zad/6258844/HzadR16x.png)
Z pierwszego równania mamy
![16 16x = 9z ⇒ z = --x. 9](https://img.zadania.info/zad/6258844/HzadR17x.png)
Podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania.
![( ) y = -3-(x + z) = -3- x + 1-6x = -3-⋅ 25x = 1x. 2 5 2 5 9 25 9 3](https://img.zadania.info/zad/6258844/HzadR18x.png)
Teraz już jest łatwo, bo umiemy wyrazić długości wszystkich boków trójkąta w zależności od
.
![16 BP = z = --x 9 PQ = x + y = x+ 1x = 4x 3 3 16- 1- 22- BQ = x + z − y = x+ 9 x − 3x = 9 x .](https://img.zadania.info/zad/6258844/HzadR21x.png)
Najdłuższym bokiem trójkąta jest odcinek
i
![256 1 44 400 484 BP 2 + PQ 2 = ---x2 + ----x2 = ---x 2 < ----x2 = BQ 2. 81 81 81 81](https://img.zadania.info/zad/6258844/HzadR24x.png)
To oznacza, że trójkąt jest rozwartokątny (bo np. z tw cosinusów otrzymujemy wtedy, że
).