/Konkursy/Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna I stopień 2008/2009
I seria
Zadanie 1
Na niektórych polach szachownicy rozmiaru ustawiono wieże. Wiadomo, że dowolna wieża znajduje się w polu rażenia co najwyżej dwóch innych wież. Wyznaczyć, w zależności od
, największą liczbę wież na szachownicy, dla której taka sytuacja jest możliwa.
Zadanie 2
Dana jest liczba całkowita . Niech
będą odpowiednio resztami z dzielenia liczb
![1,1+ 2,1+ 2+ 3,...,1+ 2+ ...+ (n − 1)](https://img.zadania.info/zes/0052500/HzesT4x.gif)
przez . Znaleźć wszystkie takie wartości
, że ciąg
jest permutacją ciągu
.
Zadanie 3
Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do boków
odpowiednio w punktach
. Punkty
są odpo- wiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty
. Dowieść, że punkty
i
są symetryczne względem prostej
.
Zadanie 4
Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
![√ ----- √ ----- √ ---- 4( a3b3 + b3c3 + c3a3) ≤ 4c3 + (a+ b)3.](https://img.zadania.info/zes/0052500/HzesT18x.gif)