Zadanie nr 1497384

Oblicz długość krzywej y = 1 − ln cosx , gdzie π- 0 ≤ x ≤ 4 .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

∫ b ∘ ------------ 1+ [f′(x )]2dx a

na długość wykresu funkcji y = f (x) na przedziale [a,b] .

W naszej sytuacji mamy

∘ -------------- ∫ b∘ ------------ ∫ π4 ( sinx ) 2 1 + [f′(x)]2dx = 1 + ----- dx = a 0 cosx ∫ π ∘ ------------2-- ∫ π ∫ π 4 cos2-x+--sin--x- 4--1-- 4-cosx- = 0 co s2 x dx = 0 co sxdx = 0 co s2xdx = | | ∫ √2 ∫ √2( ) || t = sin x || 2 --dt-- 1- 2 --1-- --1-- = |dt = cos xdx| = 0 1 − t2 = 2 0 1 − t + 1 + t dt = √- √ - 1 √-2 1 [ 1+ t]-22 1 1 + --2 = -[− ln |1− t|+ ln|1 + t|]02 = -- ln ----- = -ln ----√2- = 2 2 1− t 0 2 1 − -22 √ -- √ --2 √ -- √ -- = 1ln 2-+-√-2-= 1-ln (2-+---2)--= 1-ln 4-+-4--2-+-2-= 1-ln (3+ 2 2). 2 2 − 2 2 4− 2 2 2 2

Mogliśmy też końcowy rachunek przeprowadzić odrobinę inaczej:

√ -- ( √ --) 2 √ -- 1- (2+----2)2- 1- 2-+---2- 2---2+--2 √ -- ...= 2 ln 4 − 2 = 2 ln √ 2 = ln 2 = ln( 2 + 1).

Odpowiedź: √ -- √ -- 1 ln (3+ 2 2) = ln( 2 + 1) 2