/Studia/Analiza

Składnie funkcji i funkcja odwrotna

Poradnik stanowi kontynuację poradnika o funkcjach - radzimy tam zajrzeć w celu przypomnienia najważniejszych pojęć dotyczących funkcji. Składanie funkcji Bardzo ważną cechą funkcji jest to, że (czasami) można funkcje wykonywać jedna po drugiej.

Niech f : X → Y oraz g : Y → Z . Funkcję h: X → Z daną wzorem

h (x ) = g(f(x ))

nazywamy złożeniem (superpozycją) funkcji f i g oraz oznaczamy h = g∘ f .

W pierwszej chwili można się zagubić w różnych literkach występujących w powyższej definicji, dlatego warto zapamiętać poniższy diagram:

X --f--Y --g-- Z ----- ----- -g∘f--

Jeżeli f(x ) = 2x i 2 g(x ) = x to

2 2 g∘ f(x ) = g(f(x)) = g(2x) = (2x ) = 4x f ∘ g(x ) = f(g(x)) = f(x2) = 2x 2.

Jeżeli f(x ) = lo gx i 2 g (x) = −x to

2 g ∘f (x) = g(f (x)) = g(log x) = − log x.

Złożenie f ∘g natomiast nie ma sensu, bo logarytmować możemy tylko liczby dodatnie.

Funkcja odwrotna Jeżeli myślimy o funkcji f : X → Y jak o zbiorze strzałek, które przyporządkowują elementom zbioru X (dziedziny) elementy zbioru Y (przeciwdziedziny), to funkcja odwrotna −1 f : Y → X ma być przyporządkowaniem działającym dokładnie na odwrót, tzn. ma przyporządkowywać elementom zbioru Y elementy zbioru X na odwrót niż robi to funkcja f .

ZINFO-FIGURE

W języku powyższego obrazka, zamiana funkcji na funkcję odwrotną polega na zmianie zwrotów wszystkich strzałek.

Bardziej precyzyjną definicją funkcji odwrotnej f− 1 jest warunek:

− 1 f (y ) = x ⇐ ⇒ f(x) = y .

Nie każda funkcja f : X → Y posiada funkcję odwrotną.

Funkcja f na lewym diagramie nie posiada funkcji odwrotnej, bo są różne strzałki prowadzące do tego samego elementu zbioru Y (funkcja f nie jest różnowartościowa). W przypadku funkcji g na prawym diagramie problemem jest to, że nie każdy element zbioru Y jest końcem pewnej strzałki (funkcja g nie jest „na” zbiór Y ).

ZINFO-FIGURE

W obu przypadkach zmiana zwrotów strzałek prowadzi do przyporządkowania, które nie jest funkcją.

Podsumowując,

funkcja f : X → Y posiada funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy f jest wzajemnie jednoznaczna, tzn. gdy jest różnowartościowa i „na”.

Wyznaczmy funkcję odwrotną do funkcji f (x) = 2x .
Funkcja f wysyła liczbę x na liczbę y = 2x . Funkcja odwrotna wysyła w takim razie liczbę y na liczbę x = y 2 . Jest to więc funkcja: f−1(y) = y 2 .

ZINFO-FIGURE

Na ogół jednak argument funkcji oznaczamy literką x (mówiąc inaczej: rysując wykres argumenty zaznaczamy na osi Ox , a nie Oy ), więc ostatni wzór zapisujemy w postaci f −1(x) = x 2 .
Jeżeli chwilę się zastanowimy, to powyższy rachunek ma sens: funkcja f zmienia liczby mnożąc je przez 2, aby odwrócić skutki tej operacji musimy liczby dzielić przez 2.

Funkcja f : R → R dana wzorem f(x) = x 2 nie posiada funkcji odwrotnej, bo nie jest ani różnowartościowa, ani „na”. Spróbujmy poprawić funkcję f tak, aby była wzajemnie jednoznaczna. Zmieniając przeciwdziedzinę na przedział ⟨0,+ ∞ ) sprawiamy, że funkcja jest „na”. Aby rozwiązać problem różnowartościowości zmieniamy dziedzinę na przedział ⟨0,+ ∞ ) .

ZINFO-FIGURE

Tak poprawiona funkcja f : ⟨0,+ ∞ ) → ⟨0,+ ∞ ) posiada funkcję odwrotną i jest nią funkcja: √ -- f −1(x) = x .

Funkcja logarytmiczna y = lo g x a , gdzie a > 0,a ⁄= 1 jest zdefiniowana jako funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej x y = a .

Przyglądając się definicji funkcji odwrotnej nie jest trudno zauważyć, że wykresy funkcji y = f(x) i y = f −1(x) są symetryczne względem prostej y = x . Symetria ta pozwala łatwo naszkicować np. wykres funkcji √ -- y = x jako odbicie prawej gałęzi paraboli y = x2 . Symetrię tę dobrze też widać na przykładzie funkcji x f (x) = a i − 1 f (x) = loga x .

ZINFO-FIGURE

Powyżej wyświetlona jest tylko pierwsza część poradnika. Druga część jest dostępna tylko dla użytkowników z wykupionym abonamentem.
Zaloguj się Informacje o abonamencie
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 7,90 zł lub telefonicznie 9,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.