Funkcje

Deﬁnicje Ustalmy dwa zbiory: i .

Funkcją określoną na zbiorze i o wartościach w zbiorze nazywamy dowolne przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru przyporządkowuje pewien element zbioru .

Jeżeli jest funkcją spełniającą powyższą deﬁnicję to zbiór nazywamy dziedziną funkcji , a zbiór jej przeciwdziedziną.

Jeżeli chcemy wyraźnie zaznaczyć jaka jest dziedzina lub przeciwdziedzina funkcji to używamy zapisu

f : X → Y .

Podkreślmy, że funkcja f : X → Y musi każdemu elementowi zbioru przyporządkować dokładnie jeden element zbioru . Z drugiej strony, nie wszystkie elementy zbioru muszą być przyporządkowane pewnym elementom zbioru .

Przyporządkowanie każdej osobie jej wieku jest funkcją określoną na zbiorze wszystkich ludzi.

Przyporządkowanie każdej osobie imienia jednego z jej braci nie jest funkcją, bo są osoby, które nie mają braci.
Wystarczy jednak, że ograniczymy to przyporządkowanie do osób, które mają braci (czyli zmienimy zbiór ) i już dostaniemy funkcję.

Jeżeli funkcja przyporządkowuje elementowi x ∈ X element y ∈ Y to piszemy y = f(x) i mówimy, że jest wartością funkcji dla argumentu . Zbiór wszystkich wartości funkcji nazywamy jej zbiorem wartości i oznaczamy symbolem f (X) – jest to zawsze podzbiór przeciwdziedziny . Różne sposoby określenia funkcji 1. Opis słowny. Tego typu deﬁnicje funkcji stosujemy co rusz w naszym codziennym życiu, często nie zdając sobie nawet z tego sprawy.

Aktualna wartość indeksu giełdowego WIG20 w kolejnych dniach – za dziedzinę tej funkcji możemy przyjąć kartki kalendarza:)

Wzrost – funkcja określona na zbiorze wszystkich ludzi.

2. Graf. Tego typu deﬁnicje trudno znaleźć poza kartami podręczników do matematyki, ale mają one duży walor dydaktyczny, bo pozwalają łatwo obrazować różne własności funkcji.

Na pierwszym z poniższych diagramów mamy zaznaczone przyporządkowanie elementom zbioru elementy zbioru , które jest funkcją. Przyporządkowanie z drugiego diagramu nie jest funkcją, bo jednemu z elementów zbioru przyporządkowano dwa elementy zbioru .

ZINFO-FIGURE

3. Tabelka. Jeżeli zbiór zawiera tylko skończenie wiele elementów, to całą funkcję możemy zapisać w tabelce. Tego typu sytuacja występuje dość często w przypadku wyników pomiarów.

Powiedzmy, że chcemy ustalić jak zmienia się ciśnienie atmosferyczne na kolejnych piętrach 10 piętrowego budynku. Wyniki takiego doświadczenia najwygodniej zanotować w tabeli.

piętro	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ciśnienie

4. Wzór. Typowa sytuacja w przypadku funkcji liczbowych. Mając wzór funkcji , czyli przepis na obliczanie jej wartości, możemy stosować różne matematyczne metody badania funkcji. Dział matematyki poświęcony temu zagadnieniu nazywa się analizą matematyczną.

Wzór f (x) = x2 możemy przeczytać: funkcja zamienia liczbę na jej kwadrat.

W przypadku funkcji określonych wzorem, zazwyczaj nie podaje się wyraźnie dziedziny funkcji. W takiej sytuacji domyślnie rozumiemy, że dziedzina jest największa możliwa, czyli jest to zbiór wszystkich liczb, dla których dany wzór ma sens.

Wzór √- f(x) = -x-- x− 3 nie ma sensu dla x < 0 oraz dla x = 3 , zatem za dziedzinę przyjmujemy Df = ⟨0,3 )∪ (3,+ ∞ ) .

5. Wykres. Dość popularny motyw zadań szkolnych to odczytywanie własności funkcji z danego wykresu. Więcej na ten temat znajdziecie w poradniku dotyczącym wykresów funkcji.

Z poniższego wykresu funkcji y = f(x) odczytujemy jej dziedzinę: Df = ⟨− 7,− 2)∪ ⟨− 1,7 ) oraz zbiór wartości: (− 7,− 6) ∪ ⟨− 4,− 1⟩∪ ⟨1,3 ) .

Monotoniczność Niech będzie funkcją liczbową, a X ⊆ R pewnym przedziałem zawartym w dziedzinie .

Mówimy, że funkcja jest rosnąca na przedziale , jeżeli dla dowolnych x,y ∈ X spełniona jest implikacja

y > x ⇒ f (y) > f(x ).

Powyższy warunek należy zapamiętać w formie: dla większych argumentów funkcja przyjmuje większe wartości.

Uzasadnijmy, że funkcja dana wzorem 2 y = x + 2x − 1 jest rosnąca na przedziale ⟨− 1,+ ∞ ) .
Jeżeli założymy, że y > x to

f(y) − f(x) = y2 + 2y− 1− (x2 + 2x− 1) = = (y− x)(y+ x)+ 2(y − x) = (y − x )(y+ x+ 2).

Z założenia y > x wynika, że pierwszy nawias jest dodatni. Dodatniość drugiego nawiasu wynika z warunku y > x ≥ − 1 . W takim razie liczba z prawej strony nierówności jest dodatnia, co oznacza, że f (y) > f(x) .

Mówimy, że funkcja jest malejąca na przedziale , jeżeli dla dowolnych x,y ∈ X spełniona jest implikacja

y > x ⇒ f (y) < f(x ).

Powyższy warunek należy zapamiętać w formie: dla większych argumentów funkcja przyjmuje mniejsze wartości.

Uzasadnijmy, że funkcja 1 f (x) = x jest malejąca na przedziale (0,+ ∞ ) .
Jeżeli założymy, że y > x to

1- 1- x-−-y- f(y) − f(x) = y − x = xy .

Na mocy założenia: y > x i x,y ∈ (0,+ ∞ ) , więc licznik jest ujemny, a mianownik dodatni. Zatem f (y) < f(x ) .

Mówimy, że funkcja jest monotoniczna na przedziale jeżeli jest na tym przedziale rosnąca lub malejąca.

Uzasadnijmy, że funkcja f(x) = x 2 nie jest monotoniczna na zbiorze .
Aby wykazać, że funkcja nie jest rosnąca wystarczy pokazać przykład dwóch liczb y > x , dla których f (y) ≤ f(x) . Łatwo to zrobić: f(1) = 1 < 2 = f(− 2) , pomimo, że 1 > − 2 .
Podobnie pokazujemy, że funkcja nie jest malejąca: wystarczy pokazać dwie liczby y > x , dla których f(y) ≥ f (x) . Na przykład f(2) = 4 > 1 = f(1) oraz 2 > 1 .

Parzystość Niech będzie funkcją zdeﬁniowaną na zbiorze X ⊆ R oraz załóżmy, że zbiór ma następującą własność: jeżeli x ∈ X to − x ∈ X . Geometrycznie to dodatkowe założenie oznacza, że zbiór (jako podzbiór osi ) jest symetryczny względem punktu x = 0 .

Funkcja f : X → R jest funkcją parzystą jeżeli dla dowolnego x ∈ X

f(−x ) = f (x).

Innymi słowy, wartość funkcji w x = − 1 jest taka sama jak wartość w x = 1 , wartość w x = − 2 jest taka sama jak wartość w x = 2 itd.

Uzasadnijmy, że funkcja dana wzorem x4−2x2+5 f (x) = --|x|−1-- jest parzysta.
Łatwo sprawdzić, że dziedziną funkcji jest zbiór R ∖ {− 1,1} , który jest symetryczny względem x = 0 . Pozostało sprawdzić, że f(−x ) = f(x) . Liczymy

4 2 4 2 f(−x ) = (−x-)-−--2⋅(−x--)-+-5-= x--−-2x--+-5-= f(x). |− x |− 1 |x|− 1

Funkcja f : X → R jest funkcją nieparzystą jeżeli dla dowolnego x ∈ X

f(−x ) = −f (x ).

Sprawdźmy, że funkcja dana wzorem x4−2x2+5 f (x) = x jest nieparzysta.
Dziedziną jest zbiór R ∖ {0} , który jest symetryczny względem x = 0 . Pozostało sprawdzić, że f (−x ) = −f (x) . Liczymy

(−x )4 − 2⋅ (−x )2 + 5 x4 − 2x 2 + 5 f(−x ) = ---------−x-----------= − ------x------= −f (x).

Funkcje y = sinx, y = tg x, y = ctgx są nieparzyste, a funkcja y = cos x jest parzysta.

Funkcja y = xn , gdzie n ∈ N jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą parzystą. Funkcja ta jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą nieparzystą.

Aby wykazać, że funkcja 2 y = x + x nie jest parzysta, wystarczy podać przykład wartości , dla której f (x) ⁄= f(−x ) . Żaden problem:

f (1) = 2 ⁄= 0 = f(− 1).

Zauważmy, że ten sam przykład pokazuje, że funkcja nie jest nieparzysta.

Okresowość Niech T > 0 .

Funkcja jest funkcją okresową o okresie jeżeli dla dowolnego x ∈ D f

f (x+ T) = f (x).

Powyższy warunek zwykle pamięta się w formie: wartości funkcji powtarzają się co . Jeżeli istnieje najmniejsza liczba o powyższej własności, to liczbę tę nazywamy okresem podstawowym funkcji .

Funkcja y = sin x jest okresowa i jej okres podstawowy jest równy .

ZINFO-FIGURE

Okresowość widać wyraźnie na wykresie: znając tylko kawałek wykresu położony nad przedziałem ⟨0,2π ⟩ jesteśmy w stanie odtworzyć cały wykres – wystarczy przesuwać ten kawałek o wielokrotności .
Zauważmy jeszcze, że każda dodatnia wielokrotność liczby też jest okresem funkcji y = sin x . Jednak tylko 2 π jest okresem podstawowym (bo jest to najmniejszy możliwy okres).

Wyznaczmy okres podstawowy funkcji y = cos 2x .
Szukamy najmniejszej liczby T > 0 , dla której

cos 2(x+ T) = co s2x.

Korzystając ze wzoru na różnicę cosinusów mamy

0 = cos 2(x + T )− co s2x = − 2 sin 2x-+-2T-+-2x-sin 2x-+-2T-−-2x-- 2 2 0 = sin(2x + T )sin T.

Powyższa równość ma być spełniona dla dowolnej wartości , czyli zerowy musi być drugi składnik (bo są wartości , dla których pierwszy składnik jest niezerowy). Zatem sin T = 0 . Najmniejszą liczbą dodatnią spełniającą ten warunek jest T = π .

Różnowartościowość Funkcja jest różnowartościowa jeżeli dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Formalnie zapisujemy to następująco

Funkcja jest różnowartościowa jeżeli dla dowolnych x,y ∈ Df

x ⁄= y ⇒ f (x) ⁄= f (y).

W języku grafów, funkcja jest różnowartościowa, jeżeli żadne dwie strzałki nie prowadzą do tego samego punktu.

ZINFO-FIGURE

Na przykład funkcja przedstawiona na lewym obrazku jest różnowartościowa, a funkcja z prawego obrazka nie jest.

Funkcja f (x) = x2 nie jest różnowartościowa, bo na przykład

f(− 1) = 1 = f (1),

pomimo, że − 1 ⁄= 1 .

Warto zapamiętać, że funkcje monotoniczne są różnowartościowe.

Jeżeli funkcja jest monotoniczna na zbiorze , to jest ona na tym zbiorze różnowartościowa.

Można udowodnić, że funkcje wykładnicze x y = a i logarytmiczne y = loga x są monotoniczne (rosnące dla a > 1 i malejące dla a < 1 ), są więc różnowartościowe.

ZINFO-FIGURE

Bycie „na” Własność, o której chcemy mówić w tym rozdziale jest odrobinę bardziej egzotyczna od poprzednich, bo w zasadzie jest to bardziej własność zapisu f : X → Y , niż własność samego przyporządkowania. Dokładniej,

mówimy, że funkcja f : X → Y jest „na” zbiór jeżeli jest zbiorem wartości .

Innymi słowy, funkcja jest „na” , jeżeli każdy element zbioru jest postaci y = f (x) dla pewnego x ∈ X .

Funkcja f : X → Y przedstawiona na lewym diagramie jest „na” zbiór .

ZINFO-FIGURE

Natomiast funkcja z prawego diagramu nie jest „na”, bo jest -ek, który nie jest wartością funkcji.

Funkcja f : R → R dana wzorem f(x ) = x2 nie jest „na”, bo np. y = − 1 nie jest wartością funkcji .
Jeżeli jednak tę samą funkcję zapiszemy w postaci f : R → ⟨0,+ ∞ ) to jest to już funkcja „na”.

Każda funkcja jest „na” swój zbiór wartości.

Funkcję f : X → Y , która jest jednocześnie różnowartościowa i „na” nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Studia/Analiza