Zadanie nr 9609387

Oblicz całkę ∫ 2√ -2----- 8x x + 1dx .

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę współczynników nieoznaczonych, czyli fakt, że jeżeli Wn (x ) jest wielomianem stopnia , to całka

∫ ∘ ------------- ∫ √--Wn-(x)dx----= Pn−1(x) ax2 + bx + c+ A √-----dx------, ax2 + bx + c ax2 + bx + c

gdzie Pn− 1 jest pewnym wielomianem stopnia n − 1 , a stałą.

Ponieważ

∫ ∘ ------- ∫ 2 2 8x2 x 2 + 1dx = 8x√(x--+-1)-dx, x2 + 1

oczekujemy wyniku postaci

∫ ∫ 8x4-+-8x2- 3 2 ∘ -2----- ---dx---- ′ √ -2-----dx = (ax + bx + cx+ d) x + 1 + A √ -2----- /() x + 1 x + 1 8x4-+-8x-2 2 ∘ -2----- (ax3-+-bx2-+-cx-+-d)-⋅2x- ---A----- √x-2 +-1-= (3ax + 2bx + c) x + 1+ 2√x-2 +-1- + √x-2 +-1.

Mnożymy obie strony przez √ ------- x2 + 1 i mamy

4 2 2 2 3 2 8x + 8x = (3ax + 2bx + c)(x + 1) + (ax + bx + cx + d )⋅x + A 8x4 + 8x2 = 4ax4 + 3bx3 + (3a + 2c)x 2 + (2b + d )x+ (c+ A ) ( ||| 8 = 4a ||| 0 = 3b { | 8 = 3a+ 2c ||| 0 = 2b+ d ||( 0 = c+ A.

Łatwo stąd wyliczyć, że a = 2,b = 0 ,c = 1,d = 0,A = − 1 . Zatem

∫ ∫ 2∘ -2----- 3 ∘ -2----- ---dx---- 8x x + 1dx = (2x + x) x + 1− √ --2----= ∘ ------- x +∘ 1------ = (2x3 + x) x2 + 1− ln |x+ x2 + 1|+ C.

Odpowiedź: √ ------- √ ------- (2x3 + x) x 2 + 1 − ln |x+ x2 + 1|+ C