Zadanie nr 9744671

Oblicz całkę ∫ ---2x2--- √1−-2x−x-2dx .

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę współczynników nieoznaczonych, czyli fakt, że jeżeli Wn (x ) jest wielomianem stopnia , to całka

∫ ∘ ------------- ∫ √--Wn-(x)dx----= Pn−1(x) ax2 + bx + c+ A √-----dx------, ax2 + bx + c ax2 + bx + c

gdzie Pn− 1 jest pewnym wielomianem stopnia n − 1 , a stałą.

Ponieważ licznik w naszej całce ma stopień 2, szukamy takich stałych a,b,A , aby

∫ ∫ -----2x2------ ∘ -----------2 -------1------ ′ √ ----------2dx = (ax + b) 1 − 2x − x + A √ ----------2dx /() 1− 2x−2 x ∘ ------------ 1− 2x − x √----2x------- 2 (ax+√--b)(−-2−--2x)- √-----A------- 1 − 2x − x2 = a 1 − 2x − x + 2 1− 2x − x2 + 1 − 2x − x2.

Mnożymy teraz obie strony przez √ ----------2- 1− 2x− x .

2 2 2 2x = a(1− 2x− x )− (ax + bx + ax + b) + A 2x2 = −2ax 2 − (3a+ b)x + (a− b+ A ) ( |{ 2 = − 2a 0 = 3a+ b |( 0 = a− b+ A.

Łatwo stąd wyliczyć, że a = − 1,b = 3,A = 4 . Mamy więc

∫ -----2x-2----- ∘ ----------2- ∫ ------dx------- √ -----------2dx = (3 − x ) 1 − 2x − x + 4 ∘ -----------2-= 1 − 2x − x 2− (x+ 1) ∘ ----------2- x-+-1- = (3 − x ) 1 − 2x − x + 4 arcsin √ 2- + C .

Odpowiedź: √ ------------ (3 − x) 1 − 2x − x 2 + 4 arcsin x+√-1+ C 2