/Studia/Analiza/Ciągi/Granice/Na dowodzenie

Zadanie nr 1914802

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że n√ -- nl→im+ ∞ n = 1 .

Rozwiązanie

Musimy jakoś oszacować z góry

√n-- n − 1

przez ciąg zbieżny do 0.

Ze wzoru dwumianowego Newtona, dla x > 0 mamy nierówność

( ) (1 + x)n > n x 2 = n(n-−--1)x2. 2 2

Zastosujmy tę nierówność do √ -- x = n n − 1 .

n√ -- n n-(n−--1) √n-- 2 (1 + n− 1) > 2 ( n − 1 ) 2n > n(n − 1)( n√n-− 1)2 --2--- √n -- 2 n− 1 > ( n− 1) .

Ponieważ ciąg n2−-1 zbiega do 0, oraz prawa strona powyższej nierówności jest dodatnia, ciąg √nn--− 1 też zbiega do 0, czyli

n√ -- nl→im+∞ n = 1.
Wersja PDF