Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5895658

Wykaż, że ciąg  -1 n an = (1 + n ) jest zbieżny.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zaczniemy od lematu

Lemat
Dla dowolnego k ≥ 1 i n ∈ N prawdziwa jest nierówność

 ( ) -1- n ≤ -1--. nk k 2k−1

Dowód Liczymy

 ( ) 1-- n = 1--⋅ n(n-−-1)(n-−-2)⋅⋅⋅(n-−-k-+-1)-= nk k nk k! 1 n n − 1 n− 2 n − k + 1 1 = -- ⋅--⋅------⋅ ------⋅⋅⋅----------≤ --= k! n n n n k! -----1------ -----1------ --1-- = 1 ⋅2⋅ 3⋅⋅⋅k ≤ 1 ⋅2⋅ 2⋅⋅⋅2 = 2k− 1.

Korzystając z powyższego lematu, łatwo wykazać, że ciąg an jest ograniczony z góry. Korzystając z dwumianu Newtona i ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, mamy

( 1)n (n ) 1 (n ) 1 (n ) 1 (n ) 1 1+ -- = ---+ --⋅⋅⋅+ ---+ ⋅⋅⋅+ --- ≤ n 0 n 0 1 n k nk n nn 1- -1- --1-- ≤ 1+ 1+ 2 + 22 + ⋅⋅⋅ + 2n− 1 < < 1+ 1+ 1-+ -1-+ ⋅⋅⋅ + --1--+ ⋅⋅⋅ = 1+ --1---= 3. 2 22 2n− 1 1 − 12

Pokażemy teraz, że ciąg an jest rosnącym, co zakończy dowód jego zbieżności. Aby pokazać monotoniczność wykorzystamy nierówność Bernoullego

(1 + x)k ≥ 1 + kx , gdzie x ≥ − 1 i k ≥ 0 całkowite

Mamy zatem

 ( ) --1- n+ 1 ( ) (n-+2)n+ 1 an+1- -1-+-n+-1----- 1- --n+1----- an = ( 1)n = 1+ n ⋅( n+1)n +1 = 1 + n -n-- ( ) ( )n +1 ( ) ( )n +1 -1 n-(n+--2) 1- n-2 +-2n-+-1−--1 = 1 + n ⋅ (n+ 1)2 = 1 + n ⋅ (n + 1)2 = ( ) ( )n+ 1 ( ) ( ) -1 ----1---- 1- --n-+-1-- = 1 + n ⋅ 1 − (n + 1 )2 ≥ 1+ n 1 − (n + 1)2 = ( ) = n-+-1-⋅ 1− --1--- = n-+--1⋅ --n---= 1 . n n + 1 n n + 1

Zatem ciąg jest niemalejący. Gdyby uważnie przyjrzeć się nierówności Bernoullego, to byłoby jasne, że tak naprawdę powyższa nierówność jest ostra, czyli ciąg jest rosnący. Do dowodu wystarcza jednak słaba nierówność, więc nie będziemy się nad tym rozwodzić.

Sposób II

Rozważmy ciąg  ( )n+ 1 bn = 1 + 1n . Mamy

 ( ) ( )n ( ) b = 1 + 1- 1+ 1- = 1 + 1- a > a . n n n n n n

Podobnie jak poprzednio pokazujemy, że ciąg an jest niemalejący. Pokażemy również, że ciąg b n jest malejący, co na mocy powyższej nierówności oznacza, że

4 = b1 ≥ bn > an dla n ≥ 1,

czyli ciąg an jest niemalejący i ograniczony z góry, a więc zbieżny.

Wykażmy zatem, że ciąg bn jest malejący. Jak poprzednio, będziemy korzystać z nierówności Bernoullego.

 ( )n +1 ( )n+ 1 bn 1 + 1n 1 n+n-1 ----- = (---------)n+2 = (--------)-⋅ (----)n+1-= bn+ 1 1+ -1-- 1 + n1+1- nn++-21 n+1 n + 1 ( (n + 1)2)n + 1 n + 1 ( n(n + 2 )+ 1 )n+ 1 = ------⋅ --------- = ------⋅ ------------- = n + 2 n(n + 2) n + 2 n(n + 2) n + 1 ( 1 )n +1 n + 1 ( n + 1 ) = ------⋅ 1 + --------- ≥ ------⋅ 1+ --------- = n + 2 ( n(n + 2)) n + 2 n(n + 2) n + 1 n2 + 3n + 1 n 3 + 4n2 + 4n + 1 = ------⋅ ------------ = ----3-----2------- > 1. n + 2 n(n + 2 ) n + 4n + 4n
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!