/Studia/Analiza/Ciągi/Granice/Wykładnicze

Zadanie nr 9650521

Oblicz granicę ( n+1)n nl→im+∞ 2n-- .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy z definicji liczby e .

( ) ( ) ( ) n + 1 n 1 n n + 1 n nl→im+∞ ------ = nl→im+∞ -- ------ = 2n ( 2)n n ( )n 1- 1- = nl→im+∞ 2 ⋅ nl→im+ ∞ 1+ n = 0 ⋅e = 0.

Sposób II

Ponieważ granica ciągu w nawiasie jest równa 1 2 , więc ciąg będzie miał taką granicę jak ciąg ( ) 1 n 2 , czyli 0. Aby to porządnie uzasadnić, korzystamy z definicji granicy ciągu. Ponieważ lim n+1-= 1 n→ + ∞ 2n 2 , więc dla dostatecznie dużych n mamy n2+n1-< 34 (szczerze mówiąc to nawet możemy rozwiązać tę nierówność i zobaczyć dla jakich n zachodzi). Mamy wtedy

( )n ( )n n-+-1- 3- 0 < 2n < 4 .

Ponieważ skrajne ciągi zbiegają do 0, więc taka sama musi być granica danego ciągu.  
Odpowiedź: 0

Wersja PDF