Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2132558

Udowodnij, że jeżeli środki boków dwóch czworokątów wypukłych pokrywają się, to pola tych czworokątów są równe.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Udowodnimy, że pole czworokąta powstałego przez połączenie środków jego boków jest równe połowie pola wyjściowego czworokąta. Fakt ten w szczególności oznacza, że środki boków jednoznacznie wyznaczają pole czworokąta, czyli to, co jest treścią naszego zadania.


PIC


Niech E ,F,G ,H będą środkami boków czworokąta ABCD i poprowadźmy przekątną BD . Odcinki GF i HE łączą środki boków w trójkątach DBC i DBA , zatem

 1- PGFC = 4 PDBC 1 PHEA = -PDBA . 4

Dodając te równości stronami mamy

 1 1 1 PGFC + PHEA = --PDBC + -PDBA = -PABCD . 4 4 4

Podobnie pokazujemy, że

 1- PHGD + PFEB = 4PABCD .

Mamy zatem

P = P − P − P − P − P = 1-P . EFGH ABCD GFC HEA HGD FEB 2 ABCD
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!