/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Różne

Zadanie nr 3305838

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że jeżeli odcinki MN i PQ są prostopadłe, to |AD | = |BC | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że odcinek MQ łączy środki boków w trójkącie ABD . Jest on więc równoległy do odcinka AD . Podobnie, odcinek PN łączy środki boków trójkąta ACD , więc też jest równoległy do AD . Zatem

MQ ∥ AD ∥ P N ⇒ MQ ∥ PN .

Analogicznie, jeżeli popatrzymy na trójkąty ABC i DBC to

QN ∥ BC ∥ MP ⇒ QN ∥ MP .

Ponadto

1 1 MQ = P N = --AD ∧ QN = MP = -BC . 2 2

To oznacza, że czworokąt MP NQ jest równoległobokiem. Z założenia wiemy ponadto, że jego przekątne są prostopadłe, więc jest to romb. W takim razie

AD = 2MQ = 2QN = BC .

Sposób II

Umieśćmy czworokąt w układzie współrzędnych tak, aby A = (0,0) , B = (2b,0) , C = (2c1,2c2) i D = (2d 1,2d2) . Wtedy

A + B M = -------= (b,0 ) 2 N = C--+-D- = (c + d ,c2 + d2) 2 1 1 A-+--C- P = 2 = (c1,c2) B + D Q = -------= (b+ d1,d2). 2

Obliczmy współrzędne wektorów −→ MN i −→ PQ .

−→ MN = [c + d − b,c + d ] 1 1 2 2 −→ PQ = [b + d1 − c1,d2 − c2].

Z założenia −→ −→ MN ⊥ PQ . Warunek ten najłatwiej jest zapisać używając iloczynu skalarnego – niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0. Mamy zatem

−→ −→ 0 = MN ∘ PQ = [c1 + d1 − b,c2 + d2]∘ [b + d 1 − c1,d2 − c2] 0 = (d 1 + c1 − b)(d1 − (c1 − b))+ (d2 + c2)(d2 − c2) 0 = d 21 − (c1 − b)2 + d22 − c22 2 2 2 2 (c1 − b) + c2 = d1 + d2 / ⋅4 (2c − 2b)2 + (2c )2 = (2d )2 + (2d )2 1 2 1 2 BC 2 = AD 2.

Sposób III

Zauważmy, że

−P→Q = −P →N + N−Q→ = 1−AD→ − 1−B→C 2 2

Podobnie,

−→ −→ − → −→ −→ MN = MQ + QN = 1-AD + 1-BC . 2 2

Z założenia −→ −→ MN ⊥ PQ . Warunek ten najłatwiej jest zapisać używając iloczynu skalarnego – niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0. Mamy zatem

−→ −→ ( −→ −→ ) ( −→ −→ ) ( − → )2 ( −→ ) 2 0 = MN ∘ PQ = 1AD − 1-BC 1AD + 1BC = 1- AD − 1- BC . 2 2 2 2 4 4

Ponieważ (→ )2 → → → 2 a = a ∘ a = | a| , mamy stąd

−→ −→ |AD | = |BC |,

czyli w szczególności |AD | = |BC | .

Wersja PDF