/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Przechodzący przez punkty

Zadanie nr 5210178

Napisz równanie okręgu, którego środek znajduje się na prostej k , przechodzącego przez punkty A i B , jeśli k : y = 12x − 32; A (6,4), B(− 1,3) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Środek okręgu wyznaczymy pisząc równanie symetralnej odcinka AB i znajdując jej punkt wspólny z prostą k .

Symetralną odcinka AB wyznaczymy korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y 0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy wektor → AB = [− 7,− 1] i punkt (6−1-, 4+3) = ( 5, 7) 2 2 2 2 . Zatem symetralna odcinka AB ma równanie

( ) ( ) 5 7 − 7 x − -- − y − -- = 0 / ⋅(− 2) 2 2 7(2x − 5) + (2y − 7) = 0 14x − 35 + 2y − 7 = 0 14x − 42 + 2y = 0 y = − 7x + 2 1.

Korzystamy teraz z równania prostej k :

1 3 − 7x + 2 1 = y = --x − -- 2 2 − 14x + 42 = x − 3 4 5 = 15x ⇒ x = 3.

Zatem y = 1x− 3 = 0 2 2 i O (3,0) . Pozostało wyliczyć promień

∘ ------------------- 2 2 √ ------- OA = (6 − 3) + (4− 0) = 9 + 16 = 5 .

Zatem okrąg ma równanie

(x − 3)2 + y 2 = 52.

 
Odpowiedź: (x − 3)2 + y2 = 52

Wersja PDF