Zadanie nr 8905185
Wyznacz równanie okręgu o promieniu , który przechodzi przez punkty wspólne okręgów o równaniach
i
.
Rozwiązanie
Aby wykonać szkicowy rysunek opisanej sytuacji, przekształćmy równania okręgów tak, aby było widać jakie mają środki i promienie.
![2 2 2 2 x − 4x + y + 2y + 4 = 0 x − 4x+ y + 12y + 19 = 0 (x − 2)2 + (y+ 1)2 = 4 + 1− 4 = 1 (x − 2)2 + (y + 6 )2 = 4+ 36− 19 = 21.](https://img.zadania.info/zad/8905185/HzadR0x.gif)
Możemy teraz wykonać szkicowy rysunek.
Wyznaczmy współrzędne punktów wspólnych danych okręgów.
![{ x2 − 4x + y2 + 2y + 4 = 0 x2 − 4x + y2 + 12y + 19 = 0](https://img.zadania.info/zad/8905185/HzadR3x.gif)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy
![3 10y + 1 5 = 0 ⇐ ⇒ y = − -. 2](https://img.zadania.info/zad/8905185/HzadR4x.gif)
Podstawiamy tę wartość do przekształconego równania pierwszego okręgu.
![2 2 (x − 2 ) + ((y + 1)) = 1 2 1 2 (x − 2 ) + − -- = 1 2 2 3- (x − 2 ) = 4 √ 3- √ 3- x − 2 = − ---- ∨ x − 2 = ---- √ -2 √ -2 3 3 x = 2− ---- ∨ x = 2 + ----. 2 2](https://img.zadania.info/zad/8905185/HzadR5x.gif)
Zatem i
.
Zauważmy teraz, że środek szukanego okręgu musi leżeć na symetralnej odcinka
, czyli na pionowej prostej
![x = xA-+-xB- = 2. 2](https://img.zadania.info/zad/8905185/HzadR10x.gif)
W takim razie punkt musi mieć współrzędne postaci
. Pozostało teraz wykorzystać informację o promieniu szukanego okręgu.
![( ) 2 7 2 OA = -- ( --5 ) √ 3 2 ( 3 ) 2 49 2 − ----− 2 + − --− y = --- 2 2 25 ( )2 3-+ y + 3- = 49- 4 2 25 ( )2 y + 3- = 49-− 3-= 121- 2 25 4 100 3 11 3 1 1 y+ --= − --- ∨ y + --= --- 2 10 2 1 0 y = − 26- = − 13- ∨ y = − -4-= − 2-. 10 5 10 5](https://img.zadania.info/zad/8905185/HzadR13x.gif)
Są więc dwa okręgi spełniające warunki zadania:
![( ) 2 (x− 2)2 + y + 2- = 49- 5 25 ( ) 2 (x− 2)2 + y + 13- = 49-. 5 25](https://img.zadania.info/zad/8905185/HzadR14x.gif)
Odpowiedź: lub