Zadanie nr 2709020

Wyznacz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w asymptotach wykresu funkcji f(x) = 3xx−−24- , a trzeci bok zawiera się w stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie (1 ,1) .

Rozwiązanie

Na początku musimy wyznaczyć te asymptoty i styczną. Ponieważ

3x − 4 3x − 4 lim ------- = lim ------- = 3. x→ +∞ x − 2 x→ −∞ x − 2

funkcja ta ma jedną asymptotę poziomą y = 3 . Ponadto jest asymptota pionowa x = 2 . Możemy teraz naszkicować wykres funkcji .

Aby wyznaczyć styczną, liczymy pochodną

f′(x) = 3(x-−-2-)−-(3x-−--4) = ---−-2---. (x − 2)2 (x − 2)2

Zatem f′(1) = − 2 i styczna do wykresu w punkcie (1,1) ma postać y = − 2x+ b . Współczynnik obliczamy z warunku, że punkt (1,1) należy do wykresu.

1 = −2 + b ⇒ b = 3.

Ponieważ prosta y = − 2x+ 3 przecina proste y = 3 i x = 2 w punktach (0,3) i (2 ,−1 ) odpowiednio, interesujący nas trójkąt jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości 2 i 4. Zatem ma pole