/Studia/Analiza/Funkcje

Zadanie nr 3126384

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Określić wymiary otwartego zbiornika prostopadłościennego o objętości 32 cm 3 tak, aby jego pole powierzchni było minimalne.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

Powierzchnia wanny wyraża się wzorem

P(a,b,c) = ab + 2ac + 2bc .

Chcemy znaleźć minimum tej funkcji przy warunku abc = 32 i a,b,c > 0 .

Sposób I

Z podanego warunku możemy sytuację sprowadzić do funkcji dwóch zmiennych.

P (a,b) = ab + 6-4+ 64- b a ∂P- 64- ∂a = b− a2 ∂P 64 ---= a− --. ∂b b2

Rozwiązujemy teraz układ równań ∂P- ∂P-- ∂a = ∂b = 0 . Z pierwszego równania mamy b = 6a42 . Wstawiamy to do drugiego i mamy

a = 64- ⇒ a3 = 64 ⇒ a = 4. 6442 a

Stąd b = 4 . Sprawdzamy teraz określoność drugiej pochodnej.

[ ] 1283 1 d 2P(a,b) = a 128 1 b3 [2 1] d 2P(4,4) = . 1 2

Ponieważ druga pochodna jest dodatnio określona, w punkcie (a ,b) = (4,4) mamy minimum lokalne. Pozostał nam trudny problem ustalenia, czy jest to minimum globalne.

Jeżeli a > 64 i b > 1 to P(a ,b ) > ab > 64 Jeżeli natomiast a > 64 i b < 1 to 64 P(a ,b) > b > 64 . Możemy zatem założyć a ≤ 64 . Podobnie, możemy założyć, że b ≤ 64 . Ponadto uzasadniamy, że można założyć a,b ∈ [1,64] × [1,64] . Teraz mamy już funkcję na zwartym kwadracie i wiemy, że przyjmuje ona na tym zbiorze minimum globalne. Jest ono przyjmowane albo we wcześniej znalezionym minimum lokalnym, albo na brzegu. Punkty brzegu łatwo jednak wyeliminować wstawiając do wzoru na P(a,b) kolejno wartości a = 1,a = 64 ,b = 1,b = 64 .

Sposób II

Najprostsze rozwiązanie uzyskamy stosując nierówność między średnimi. Mamy

∘ --------------- ab-+-2ac-+-2bc-≥ 3(ab )(2ac)(2bc) 3 √ -------- √ ---- ab + 2ac + 2bc ≥ 3 3 4a2b2c2 = 3 3212 = 3⋅ 16 = 48.

W dodatku równość w tej nierówności zachodzi dokładnie wtedy gdy wszystkie trzy liczby są równe, co prowadzi do trójki (a,b,c) = (4,4,2) .

Sposób III

Stosujemy metodę mnożników Lagrange’a. Na początek sprawdzamy, że funkcja g(a ,b ,c) = abc− 32 jest nieosobliwa i szukamy minimum funkcji

F(a,b,c) = ab + 2ac + 2bc + λ (abc − 32) ∂F- ∂a = b + 2c+ λbc ∂F ---= a + 2c+ λac ∂b ∂F- ∂c = 2a + 2b + λab ∂F ---= abc − 32. ∂λ

Musimy teraz rozwiązać układ równań ∂F ∂F ∂F ∂F ∂a = ∂b = ∂c = ∂λ = 0 . Z ostatniego równania mamy abc = 32 i mnożąc pierwsze trzy równania przez a,b i c odpowiednio mamy układ

( |{ 0 = ab + 2ac + λabc = ab + 2ac + 32λ 0 = ab + 2bc + λabc = ab + 2bc + 32λ |( 0 = 2ac + 2bc + λabc = 2ac + 2bc + 32 λ

Odejmując od pierwszego równania drugie mamy

0 = 2c(a− b) ⇒ a = b.

Podobnie, jak od trzeciego odejmiemy drugie, to mamy

0 = a(2c − b) ⇒ b = 2c.

Zatem a = b = 2c . Z równości abc = 3 2 mamy wtedy

(2c )(2c )c = 32 ⇒ c3 = 8 ⇒ c = 2.

Zatem (a,b,c) = (4,4,2) . Pozostało wykazać, że w tym punkcie jest minimum globalne (zbiór, na którym badamy funkcję nie jest zwarty, więc trzeba uważać). Liczymy drugą pochodną funkcji F w punkcie (4,4,2,− 1) (bo λ = − 1 ).

⌊ ⌋ 0 1 + λc 2 + λb d 2F(a,b,c,λ) = ⌈ 1+ λc 0 2 + λa ⌉ 2+ λb 2 + λa 0 ⌊ ⌋ 0 − 1 − 2 d 2F(4,4,2,− 1) = ⌈− 1 0 − 2⌉ − 2 − 2 0

Określoność tej formy badamy przy warunku dg (a,b,c) = 0 , gdzie g (a ,b,c) = abc− 32 . Mamy

∂g-= bc ∂a ∂g- ∂b = ac ∂g ---= ab. ∂c

Co daje nam Hesjan obrzeżony

⌊ 0 8 8 16 ⌋ | | H (4,4 ,2,− 1) = | 8 0 − 1 − 2| ⌈ 8 − 1 0 − 2⌉ 16 − 2 − 2 0

Łatwo sprawdzić, że minory H 2,H 3 są ujemne, czyli forma jest wszędzie dodatnio określona. Zatem w punkcie (4,4,2) jest lokalne minimum. Globalność tego minimum uzasadniamy podobnie jak w I sposobie. Widać więc, że dla (a,b,c) = (4,4,2) mamy minimum globalne.  
Odpowiedź: 4 cm,4 cm,2 cm

Wersja PDF