/Studia/Analiza/Funkcje

Zadanie nr 3431844

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Zbadaj przebieg zmienności funkcji lnx- y = x .

Rozwiązanie

Dziedziną podanej funkcji jest zbiór Df = (0,+ ∞ ) . Sprawdźmy, czy jest asymptota pionowa w x = 0 .

lim ln-x = −-∞- = − ∞ . x→0+ x 0+

Zatem x = 0 jest asympototą pionową.

Sprawdźmy czy jest asymptota pozioma.

lnx-[H] 1x- x→lim+ ∞ x = x→lim+ ∞ 1 = 0.

Zatem prosta y = 0 jest asymptotą poziomą w + ∞ . Granicę policzyliśmy korzystając z reguły de l’Hospitala.

Zbadajmy teraz monotoniczność funkcji

1 f′(x) = x ⋅-x−-1⋅ln-x-= 1−--ln-x. x2 x 2

Widać zatem, że funkcja jest rosnąca na przedziale (0,e⟩ (pochodna jest dodatnia), oraz malejąca na przedziale ⟨e,+ ∞ ) (pochodna jest ujemna). W punkcie x = e jest więc maksimum lokalne.

Zbadajmy teraz wypukłość funkcji.

1 2 f′′(x) = −-x-⋅x-−--2x-⋅(1−--ln-x)-= −-3x-+-2x-ln-x-= x 4 x4 2x(ln x− 3) 2x(lnx − ln e32) = ------4---2--= -------4-------. x x

Widzimy zatem, że funkcja jest wklęsła na przedziale 32 (0,e ⟩ (druga pochodna ujemna) i wypukła na przedziale 3 ⟨e2,+ ∞ ) (druga pochodna dodatnia). W punkcie x = e 32 jest punkt przegięcia.

Możemy teraz naszkicować wykres funkcji.

PIC

Wersja PDF