/Studia/Analiza/Funkcje

Zadanie nr 4780962

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji 1 4 2 y = − 2 x + x + 1 w przedziale ⟨− 1;6 ⟩ .

Rozwiązanie

Sposób I

Jest to funkcja dwukwadratowa, więc podstawiamy 2 t = x , ze względu na przedział zmienności x , t zmienia się w przedziale ⟨0,36 ⟩ . Szukamy zatem wartości paraboli

f(t) = − 1-t2 + t + 1 2

w przedziale ⟨0 ,36⟩ . Wierzchołek tej paraboli jest w punkcie

xw = −b--= 1. 2a

Zatem w tym punkcie jest przyjmowana wartość największa

1 3 f(1) = − -+ 1+ 1 = --. 2 2

Wartość najmniejsza jest przyjmowana w jednym z końców przedziału, sprawdźmy w którym.

f(0) = 1 f(36) = − 1-⋅3 62 + 3 6+ 1 = − 648 + 37 = − 6 11. 2

Sposób II

Zadanie możemy też rozwiązać pochodnymi.

′ 3 2 f(x ) = − 2x + 2x = −2x (x − 1) = − 2x(x − 1)(x+ 1).

Widać zatem, że funkcja rośnie na przedziałach (− ∞ ,− 1⟩ i ⟨0,1 ⟩ (pochodna dodatnia) oraz maleje na przedziałąch ⟨− 1,0 ⟩ i ⟨1 ,+∞ ) (pochodna jest ujemna). Żeby się nie pogubić wygodnie naszkicować sobie schematyczny wykres funkcji f .

PIC

Są zatem dwa maksima lokalne w x = − 1 i x = 1 oraz minimum lokalane w x = 0 . Największa wartość jest w jednym z maksimów. Liczymy

f (− 1) = f(1) = 3. 2

Najmniejsza wartość będzie na końcu przedziału lub w minimum

f (0 ) = 1 3- f (− 1 ) = 2 f (6 ) = − 611.

 
Odpowiedź: 3 fmax = f(1) = f(− 1) = 2 oraz fmin = f (6) = − 611

Wersja PDF