/Studia/Analiza/Funkcje

Zadanie nr 5565500

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij nierówność Bernoulliego: jeżeli x ≥ − 1 i 0 < r ≤ 1 , to (1 + x)r ≤ 1 + rx .

Rozwiązanie

Podstawmy w nierówności, którą mamy udowodnić t = x + 1 . Musimy zatem udowodnić nierówność

tr ≤ 1 + r(t− 1) = rt− r+ 1

przy założeniu: t ≥ 0 i 0 < r ≤ 1 . Jeżeli r = 1 , to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy dalej, że r ∈ (0,1 ) .

Badamy funkcję f(t) = tr − rt+ r− 1 . Liczymy jej pochodną.

( ) ′ r−1 ( r− 1 ) 1 f (t) = rt − r = r t − 1 = r 1−r-− 1 . t

Zauważmy teraz, że (przy naszych założeniach o r i t ) ′ f (t) zmienia znak w t = 1 z dodatniego na ujemny, więc f(t) ma w t = 1 maksimum. Stąd

f(t) ≤ f(1) = 1− r+ r − 1 = 0 ,

a to jest dokładnie nierówność, którą mieliśmy udowodnić.

Wersja PDF