/Studia/Analiza/Funkcje

Zadanie nr 5750869

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz z definicji pochodną funkcji f(x) = ln x .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać z granic

( 1)x lim 1+ -- = e x→+ ∞ x ( 1)x lim 1+ -- = e. x→− ∞ x

Z tych granic wynika, że

1 lxim→ 0(1 + x )x = e

(wystarczy podstawić 1 x zamiast x ). Będziemy też korzystać z ciągłości logarytmu.

Liczymy pochodną w punkcie x0 .

f ′(x 0) = lim f(x0-+-t)−--f(x0)-= lim ln(x-0 +-t)-−-lnx-0= t→ 0 t t→ 0 t ln x0+t ( ) 1t ( ) 1t = lim ---x0--= lim ln x0 +-t = lnlim x0-+-t = t→ 0 t t→ 0 x0 t→ 0 x0 ( ( ) x0) 1x- t t 0 x1 1 = ln ltim→ 0 1 + x-- = lne 0 = x-. 0 0

 
Odpowiedź: ′ 1 f (x) = x

Wersja PDF