/Studia/Analiza/Funkcje

Zadanie nr 6283558

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji -x3- f(x) = 3−x2 .

Rozwiązanie

Oczywiście liczymy pochodną.

2 2 3 2 4 2 2 2 f′(x) = 3x--(3−--x-)−--x-(−-2x) = 9x--−-x---= x--(9−--x-) = x--(3−--x)(3+--x) (3 − x2)2 (3− x2)2 (3 − x2)2 (3 − x2)2

Widać stąd, że

{ f′(x) ≤ 0 dla x ∈ (−∞ ,− 3⟩ ∪ ⟨3,∞ ) √ -- √ --√ -- √ -- f′(x) ≥ 0 dla x ∈ ⟨−3 ,− 3 )∪ (− 3, 3) ∪ ( 3,3⟩

Zatem

{ f(x) maleje dla x ∈ (− ∞ ,− 3⟩, x ∈ ⟨3,∞ ) √ -- √ --√ -- √ -- f(x) rośnie dla x ∈ ⟨− 3 ,− 3 ), x ∈ (− 3, 3), x ∈ ( 3,3⟩

Z powyższej analizy widzimy, że f′(x) zmienia znak w punktach x = − 3 i x = 3 . W pierwszym z nich jest minimum a w x = 3 maksimum lokalne. Obliczamy jeszcze wartości w tych punktach.

− 27 27 9 f(− 3) = ------= ---= -- 3− 9 6 2 f(3) = -27---= − 27-= − 9. 3− 9 6 2

Dla ciekawskich wykres funkcji f (x) .

PIC

 
Odpowiedź: Minimum lokalne: f (− 3) = 92 , maksimum lokalne: f(3) = − 9 2 .

Wersja PDF