/Studia/Analiza/Funkcje/Klasy funkcji/Funkcje cyklometryczne/Uprość wyrażenie

Zadanie nr 8273808

Oblicz wartość wyrażenia: 3 -8 sin(arcsin 5 + arcsin 17) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Żeby trochę uprościć sobie zapis oznaczmy

3 3 α = arcsin -- ⇒ sin α = -- 5 5 β = arcsin -8- ⇒ sin β = 8-. 1 7 17

Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy.

( ) sin arcsin 3-+ arcsin -8- = sin(α + β) = 5 17 3 8 = sin αco sβ + sin βco sα = -co sβ + ---cos α. 5 17

Aby móc dokończyć ten rachunek, musimy wyliczyć cos α i co sβ , łatwo to zrobić z jedynki trygonometrycznej (tu jest ważne, że α i β są kątami ostrymi – to wynika z definicji funkcji arcsin !)

∘ ---------- ∘ ------- cos α = 1− sin2 α = 1− 9--= 4- 25 5 ∘ ---------- ∘ -------- cos β = 1− sin 2β = 1− -64-= 15-. 289 17

Zatem

( 3 8 ) 3 15 8 4 7 7 sin arcsin --+ arcsin --- = -⋅ ---+ ---⋅ --= ---. 5 17 5 17 17 5 8 5

 
Odpowiedź: 7875

Wersja PDF