/Studia/Analiza/Zastosowania całek/Pole powierzchni

Zadanie nr 2018797

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz pole powierzchni otrzymanej w wyniku obrotu wokół osi Ox krzywej y = cosx , x ∈ [− π2, π2] .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

∫ b ∘ ------------- 2π f(x) 1 + (f ′(x ))2dx a

na pole powierzchni otrzymanej przez obrót wokół osi Ox wykresu funkcji y = f (x) , gdzie x ∈ [a,b] .

PIC

Liczymy

∫ π ∘ ---------- | | P = 2 π 2 cos x 1 + sin2 xdx = || t = sin x || = −π2 |dt = cosxdx | ∫ 1 ∘ ------ = 2 π 1+ t2dt. −1

Korzystamy teraz z tego, że całkujemy funkcję parzystą oraz ze wzoru

∫ ∘ ------- ∘ ------- ∘ ------- x 2 + kdx = x- x2 + k + k-ln|x + x2 + k|+ C . 2 2

Mamy więc

∫ 1 ∘ ------ ∫ 1 ∘ ------ 2π 1 + t2dt = 4π 1 + t2dt = − 1 0 [ ∘ ------ ∘ ------] 1 = 4π t- t2 + 1+ 1-ln (t+ t2 + 1) = 2 2 0 ( √ -- √ --) √ -- √ -- = 4π ⋅ --2-+ 1-ln (1+ 2) = 2π ( 2+ ln (1+ 2 )). 2 2

 
Odpowiedź: √ -- √ -- 2π ( 2 + ln(1 + 2))

Wersja PDF