/Studia/Analiza/Zastosowania całek/Pole powierzchni

Zadanie nr 8584532

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz pole koła o promieniu R .

Rozwiązanie

Na początek obrazek.

PIC

Sposób I

Pole koła K jest równe całce podwójnej

∫∫ 1dxdy K

Całkę liczymy zmieniając współrzędne na biegunowe

x = rcos φ y = rsinφ ,

gdzie 0 ≤ φ ≤ 2π i 0 ≤ r ≤ R .

PIC

Liczymy jakobian tej zmiany zmiennych

||∂x ∂x|| | | J = || ∂r ∂φ ||= ||cos φ −r sin φ|| = rco s2φ + r sin 2φ = r. |∂y ∂y| |sinφ rcos φ | ∂r ∂φ

Mamy zatem

∫∫ ∫ ∫ 1dxdy = rdφdr, K P

gdzie całkę z prawej strony liczymy po prostokącie 0 ≤ φ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ R . Teraz całkę podwójną zamieniamy na całkę iterowaną.

∫∫ ∫ R (∫ 2π ) ∫ R ( ∫ 2π ) rdφdr = rdφ dr = r 1dφ dr = P 0 0 0 0 ∫ R ∫ R [ ]R = r ⋅2πdr = 2π rdr = 2π 1r2 = πR 2. 0 0 2 0

Sposób II

Rozwiązując nierówność opisującą koło względem zmiennej y otrzymujemy układ dwóch nierówności:

∘ -------- ∘ -------- − R 2 − x2 ≤ y ≤ R2 − x2.

Ponadto x zmienia się w przedziale [−R ,R] .

Stąd pole elipsy równa się

∫ R [∘ -------- ∘ --------] ∫ R ∘ -------- P = R 2 − x2 + R 2 − x 2 dx = 2 R 2 − x 2dx −R −R

Ostatnią całkę obliczymy przez podstawienie

x = R sin t, − π-≤ t ≤ π-, dx = R costdt 2 2

Liczymy

∫ R ∘ -------- ∫ π ∘ -------------- R2 − x2dx = 2 R R 2 − R2 sin 2tcos tdt = −R − π2 ∫ π ∘ ---------- ∫ π √ ------ ∫ π = R2 2 1− sin2 tcos tdt = R2 2 cos2 tcos tdt = R2 2 cos2 tdt, − π2 −π2 −π2

bo co st ≥ 0 dla π- π- t ∈ [− 2 ,2] . Aby obliczyć ostatnią całką korzystamy ze wzoru 2 cos2t = 2cos t− 1 .

∫ π2 ∫ π2 1+ cos2t [∫ π2 1 ∫ π2 c os2t ] R2 co s2tdt = R 2 ---------dt = R2 -dt+ ------dt = − π2 − π2 2 − π2 2 − π2 2 [ ] π2 2 = R 2 -t+ sin-2t- = R--π. 2 4 −π2 2

Zatem pole koła równa się

2 P = 2⋅ R-π--= πR 2. 2

Sposób III

Tym razem skorzystamy z dwuwymiarowej wersji twierdzenia Stokesa, czyli z twierdzenia Greena

∫ ∫ ∫ ( ∂Q ∂P ) (P dx+ Qdy ) = ----− --- dxdy , ∂E E ∂x ∂y

gdzie ∂E jest dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru E . Chcemy z prawej strony tego wzoru mieć ∫ 1dxdy E , więc bierzemy np. Q = x 2 i P = − y 2 . i mamy

∫∫ ∫ ( y x ) 1dxdy = − -dx + -dy . E ∂E 2 2

Całkę krzywoliniową z prawej strony liczymy parametryzując brzeg koła wzorem

(x,y ) = (R cosφ ,R sin φ ), gdzie φ ∈ [0,2π ]

Mamy zatem

∫ ( y x ) − -dx + -dy = ∂E∫ 2( 2 ) 2π R-sinφ- R-co-sφ- = 0 − 2 ⋅ (−R sin φ) + 2 ⋅(R co sφ) dφ = 2 ∫ 2π 2 ∫ 2π = R-- (sin2φ + cos2φ )dφ = R-- 1dφ = πR 2. 2 0 2 0

 
Odpowiedź: 2 πR

Wersja PDF