/Szkoła średnia/Równania/Inne

Zadanie nr 4220739

  • Wykaż, że równanie x5 + 8x2 + x + 1 = 0 nie ma rozwiązań w przedziale ⟨− 1,1⟩ .
  • Wykaż, że równanie
    4 2 2 sinx cos x − 2sinx cos x− 8cos x+ 2sin x+ 9 = 0

    nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Równanie wygląda na trudne do rozwiązania, bo nie ma pierwiastków wymiernych (dzielniki wyrazu wolnego nie są pierwiastkami). My jednak nie mamy tego równania rozwiązać, a jedynie pokazać, że nie ma ono rozwiązań w przedziale ⟨− 1,1⟩ .

    Aby to zrobić, zapiszmy równanie w postaci

    2 3 0 = x (x + 8)+ (x+ 1)

    Zauważmy teraz, że x 2 ≥ 0 , x3 + 8 > 0 (bo x ≥ − 1 ) oraz x + 1 ≥ 0 . Zatem oba składniki z prawej strony równania są nieujemne. Ponadto, pierwszy zeruje się tylko dla x = 0 , a drugi tylko dla x = − 1 , co oznacza, że prawa strona równania jest zawsze dodatnia. To oznacza, że równanie jest sprzeczne.

  • Zauważmy, że w podanym równaniu występują tylko parzyste potęgi co sx , więc przy pomocy jedynki trygonometrycznej możemy zamienić wszystkie cosinusy na sinusy.
    4 2 2 0 = sin x cos x − 2 sin x cos x − 8 cos x+ 2sinx + 9 = = sin x(cos2 x)2 − 2sinx (1− sin 2x) − 8(1 − sin2x )+ 2 sinx + 9 = = sin x(1 − sin2x )2 − 2 sin x + 2 sin 3x − 8 + 8 sin 2x + 2sin x+ 9 = 2 4 3 2 = sin x(1 − 2 sin x + sin x) + 2 sin x + 8 sin x + 1 = = sin x − 2sin3 x+ sin 5x + 2 sin 3x + 8 sin2 x + 1 = 5 2 = sin x+ 8sin x+ sin x + 1.

    Możemy teraz podstawić t = sin x i otrzymujemy równanie wielomianowe z poprzedniego podpunktu.

    0 = t5 + 8t2 + t+ 1.

    Ponieważ t = sinx ∈ ⟨− 1,1 ⟩ , z poprzedniego podpunktu wynika, że równanie to jest sprzeczne.

Wersja PDF