Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych/logarytmicznych bardzo przypomina analogiczną zabawę z funkcjami trygonometrycznymi – też mamy kilka wzorków, dzięki którym musimy sprowadzić takie równanie/nierówność do prostej postaci. Cała sytuacja jest jednak o wiele prostsza, bo nie ma okresowości i wzorów redukcyjnych. Proste równania i nierówności wykładnicze Proste równania wykładnicze to równania postaci

ax = b,

gdzie a,b > 0 i a ⁄= 1 . Nie ma tu żadnego problemu: logarytmujemy stronami logarytmem przy podstawie i mamy x = lo gab .

Rozwiążmy równanie 2 2x = 59x .
Liczymy

2x 2x 2 ⋅3 = 5 62x = 5 / lo g6() 2x = lo g65 1- √ -- x = 2 lo g65 = log 6 5.

Często jest tak, że równanie ma jeszcze prostszą postać:

x c a = a .

Wtedy możemy od razu wywnioskować, że x = c (dzięki różnowartościowości
funkcji wykładniczej).

Rozwiążmy równanie 24x + 42x + 16x = 1 2 . Liczymy

4x 4x 4x 2 + 2 + 2 = 1 2 3⋅24x = 1 2 4x 2 2 = 2 1 4x = 2 ⇐ ⇒ x = --. 2

Analogicznie postępujemy w przypadku nierówności tego typu. Jedyna rzecz, na którą musimy uważać, to zmiana znaku nierówności w przypadku, gdy a < 1 .

Rozwiążmy nierówność ( ) ( ) 1 x 1 2x 2 < 3 .
Liczymy

( ) ( ) 1- x 1- 2x 2 < 3 / log12() ( ) 1- 2x 1- x > log 12 3 = 2x log12 3 ( ) ( ) 1- 1- 1- 12- 9- 0 > x 1− 2 log12 3 = x lo g12 2 − log12 9 = x lo g12 1 = xlog 122 . 9

Ponieważ log 1 92 < 0 2 otrzymujemy stąd x > 0 .

Sprawdźmy dla jakiej wartości parametru rozwiązaniem nierówności

( ) 1- x 7 ≤ m

jest przedział ⟨2,+ ∞ ) .
Liczymy

( )x 1- ≤ m / log 1() 7 7 x ≥ log m . 17

Musimy zatem mieć

( ) 1- 2 1-- log17 m = 2 ⇐ ⇒ m = 7 = 49.

Proste równania i nierówności logarytmiczne Proste równanie logarytmiczne to równanie postaci

lo gax = b,

gdzie a > 0 i a ⁄= 1 . Rozwiązanie równania tego typu sprowadza się do przypomnienia sobie deﬁnicji logarytmu. Powyższa równość oznacza, że

b x = a .

Rozwiążmy równanie x log3 2 = 2 . Liczymy

x 2 2 = 3 / lo g2() x = log 9. 2

Podobnie jak w przypadku prostych równań wykładniczych, czasem równanie jest jeszcze prostsze:

loga x = loga b.

w takiej sytuacji od razu wnioskujemy, że x = b (korzystamy z różnowartościowości
funkcji wykładniczej).

Rozwiążmy równanie 2 2 lo gx + log x = log 2x .
Liczymy

logx 3 = log2x 2 3 2 x = 2x x2(x− 2) = 0 x = 0 ∨ x = 2.

Ze względu na dziedzinę równania jedynym rozwiązaniem jest x = 2 .

Przejście od równań do nierówności jest prawie natychmiastowe. Prawie, bo jak zwykle musimy uważać na monotoniczność funkcji logarytmicznej.

Rozwiążmy nierówność log π4 x < 2 .
Zamieniamy 2 z prawej strony na logarytm.

( ) 2 log πx < lo gπ π- . 4 4 4

Teraz chcemy opuścić logarytmy. Ponieważ π 4-< 1 , zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

( ) π- 2 x > 4 .

Podstawianie W przypadku bardziej skomplikowanych równań i nierówności wykładniczych lub logarytmicznych niezwykle użyteczną metodą jest podstawienie x t = a lub t = loga x . Bardzo często otrzymujemy w ten sposób równanie/nierówność, które już nie jest wykładnicze/logarytmiczne (zwykle jest wielomianowe).