/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij

Zadanie nr 2923061

Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 1.

PIC

Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest większy niż √ -- 2+ 2 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od dorysowania, wszystkiego co się da.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że

√ -- R 2 = BC = CD + DB > 2 + R √ -- √ -- R ( 2 − 1) > 2 / : ( 2 −√1)- 2 2( 2 + 1) √ -- R > √-------= -----------= 2 2 + 2. 2 − 1 2− 1

Sposób II

Popatrzmy na trójkąt prostokątny BCK . Mamy w nim

CK = BK = R √ -- BC = AC + AD + BD = 2+ 1+ R.

Wystarczy teraz napisać twierdzenie Pitagorasa, lub jeszcze prościej, zauważyć, że √ -- BC = BK 2 (przekątna w kwadracie CKBL ). Mamy więc

√ -- BC = BK 2 √ -- √ -- 2√+-1 + R =√R-- 2 R ( 2 − 1) = 2 + 1 √ -- √ -- --2-+-1- --2-+-1- √ -- R = √ -- > 1 = 2 2+ 2. 2 − 1 2

Sposób III

Tym razem popatrzmy na trójkąt prostokątny ABS . Jego boki mają długości AS = BS = R − 1 oraz AB = 1 + R . Możemy napisać w nim twierdzenie Pitagorasa, albo lepiej zauważyć, że jest to połówka kwadratu, czyli

√ -- AB = AS 2 √ -- 1 + R = (R − 1) 2 √ -- √ -- R ( 2 − 1) = 1 + 2 √ -- √ -- -- R = √-2-+-1-> --2-+-1-= 2√ 2+ 2. 2 − 1 1 2
Wersja PDF